（1）作$MD\bot AB$于$D$，如图$1$所示：

则$\angle ADM=\angle BDM=90^{\circ}$，
$\because BM$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle MBD=\angle MBC$，
在$\triangle MBD$和$\triangle MBC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠C=90°}\\{∠MBD=∠MBC}\\{MB=MB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle MBD$≌$\triangle MBC\left(AAS\right)$，
$\therefore BD=BC=6cm$，
$\therefore AD=AB-BD=4cm$，
设$MC=MD=x cm$，则$AM=\left(8-x\right)cm$，
在$Rt\triangle ADM$中，由勾股定理得：$x^{2}+4^{2}=\left(8-x\right)^{2}$，
解得：$x=3$，
$\therefore t=3$，
即当$t$为$3$时，$BM$平分$\angle ABC$；
$(2)$①当点$M$在$AC$上，如图，$CB=CM$时，$CM=6cm$，

则$t=6$；
②当点$M$在$AB$上，如图$3$，$CB=CM$时，过$C$作$CD\bot AB$于$D$，

$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore CD=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(cm)$，
在$Rt\triangle ADC$中，$BD=\sqrt{BC{}^{2}-CD{}^{2}}=\frac{18}{5}(cm)$，
$\because CB=CM$，$CD$为$AB$边上的高，
$\therefore BD=MD=\frac{18}{5}(cm)$，
$\therefore AM=10-\frac{18}{5}-\frac{18}{5}=\frac{14}{5}(cm)$，
$\therefore AC+AM=8+\frac{14}{5}=\frac{54}{5}(cm)$，
则$t=\frac{54}{5}$，
当$BC=BM=6cm$时，$AM=4cm$，
$\therefore AC+AM=8+4=12cm$，
$\therefore t=12$，
当$CM=BM$时，
如图，作$MH\bot BC$于$H$，

则$BH=CH$，
$\because MH$∥$AC$，
$\therefore AM=MB=5\left(cm\right)$，
$\therefore AM+AC=8+5=13\left(cm\right)$，
$\therefore t=13$，
③在边$BC$上时，不能构成三角形；
综上所述，当$t=6$或$\frac{54}{5}$或$12$或$13$时，$\triangle ACP$为等腰三角形；
$(3)$分两种情况：
①$M$、$N$相遇前，当$M$点在$AC$上，$N$在$AB$上，如图所示：

则$t+2t=12$，
$\therefore t=4$；
②当$M$、$N$相遇后，当$M$点在$AB$上，$N$在$AC$上，如图所示：

则$t+2t=12+24$，
$\therefore t=12$；
$\therefore t$为$4$或$12$时，直线$PQ$把$\triangle ABC$的周长分成相等的两部分.
故答案为：$4$或$12$.

（1）作$MD\bot AB$于$D$，如图$1$所示：

则$\angle ADM=\angle BDM=90^{\circ}$，
$\because BM$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle MBD=\angle MBC$，
在$\triangle MBD$和$\triangle MBC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠C=90°}\\{∠MBD=∠MBC}\\{MB=MB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle MBD$≌$\triangle MBC\left(AAS\right)$，
$\therefore BD=BC=6cm$，
$\therefore AD=AB-BD=4cm$，
设$MC=MD=x cm$，则$AM=\left(8-x\right)cm$，
在$Rt\triangle ADM$中，由勾股定理得：$x^{2}+4^{2}=\left(8-x\right)^{2}$，
解得：$x=3$，
$\therefore t=3$，
即当$t$为$3$时，$BM$平分$\angle ABC$；
$(2)$①当点$M$在$AC$上，如图，$CB=CM$时，$CM=6cm$，

则$t=6$；
②当点$M$在$AB$上，如图$3$，$CB=CM$时，过$C$作$CD\bot AB$于$D$，

$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore CD=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}(cm)$，
在$Rt\triangle ADC$中，$BD=\sqrt{BC{}^{2}-CD{}^{2}}=\frac{18}{5}(cm)$，
$\because CB=CM$，$CD$为$AB$边上的高，
$\therefore BD=MD=\frac{18}{5}(cm)$，
$\therefore AM=10-\frac{18}{5}-\frac{18}{5}=\frac{14}{5}(cm)$，
$\therefore AC+AM=8+\frac{14}{5}=\frac{54}{5}(cm)$，
则$t=\frac{54}{5}$，
当$BC=BM=6cm$时，$AM=4cm$，
$\therefore AC+AM=8+4=12cm$，
$\therefore t=12$，
当$CM=BM$时，
如图，作$MH\bot BC$于$H$，

则$BH=CH$，
$\because MH$∥$AC$，
$\therefore AM=MB=5\left(cm\right)$，
$\therefore AM+AC=8+5=13\left(cm\right)$，
$\therefore t=13$，
③在边$BC$上时，不能构成三角形；
综上所述，当$t=6$或$\frac{54}{5}$或$12$或$13$时，$\triangle ACP$为等腰三角形；
$(3)$分两种情况：
①$M$、$N$相遇前，当$M$点在$AC$上，$N$在$AB$上，如图所示：

则$t+2t=12$，
$\therefore t=4$；
②当$M$、$N$相遇后，当$M$点在$AB$上，$N$在$AC$上，如图所示：

则$t+2t=12+24$，
$\therefore t=12$；
$\therefore t$为$4$或$12$时，直线$PQ$把$\triangle ABC$的周长分成相等的两部分.
故答案为：$4$或$12$.