C

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$为$BC$中点，
$\therefore AD\bot BC$，$AD=DC$，$\angle EAD=\angle C=45^{\circ}$.
$\because \angle EDF=90^{\circ}=\angle EDA+\angle ADF$，
$\angle ADF+\angle FDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDA=\angle FDC$.
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}\\{∠EDA=∠FDC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADE$≌$\triangle CDF\left(AAS\right).$
$\therefore AE=CF$，又$AB=AC$，
$\therefore BE=AF$，故①正确；
$\because AE=CF$，故$AE+AF=CF+AF=AC$，
又$\because E$，$F$分别是$AB$，$AC$两边上的动点，
$\therefore EF$长度不固定，
故$AE+AF+EF=AC+EF$值不确定，
即$\triangle AEF$的周长无法确定，故②错误；
$\because DE=DF$，
$\therefore \angle DEF=45^{\circ}=\angle BAD$，
由三角形内角和可得$\angle EGD=180^{\circ}-\angle EDA-45^{\circ}$，
$\angle AED=\angle 180^{\circ}-\angle EDA-45^{\circ}$，
$\therefore \angle EGD=\angle AED$，
又$\because \angle EGD=\angle AGF$，
$\therefore \angle AGF=\angle AED$，故③正确；
$\because AB=AC=6cm$，
当$DE\bot AB$时，$DE=3cm$，此时$S_{2}$最小，
$S_{2}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，$S_{1}=\frac{1}{2}×6×6=18$，
故$S_{2}=\frac{1}{4}{S}_{1}$，
当$DE$或$DF$与$AD$重合时，此时$S_{2}$最大，
$S_{2}=\frac{1}{2}S_{1}$，
故$\frac{1}{4}S_1≤S_2≤\frac{1}{2}S_1$，故④正确.
$\therefore$①③④正确.
故选：$C$.