解：$(1)$左右两边乘以$(x-4)(2x+1)$得到$4(2x+1)=5(x-4)$，

解得$x=-8$，

检验$x=-8$时，$(x-4)(2x+1)\neq 0$，

$∴x=-8$是原分式方程的解；

$(2)$左右两边乘以$(x+2)(x-3)$得到$x(x-3)=10+(x+2)(x-3)$，

解得$x=-2$，

检验$x=-2$时$(x+2)(x-3)=0$，

$∴$原分式方程无解．

解：$(1)$左右两边乘以$(x-4)(2x+1)$得到$4(2x+1)=5(x-4)$，

解得$x=-8$，

检验$x=-8$时，$(x-4)(2x+1)\neq 0$，

$∴x=-8$是原分式方程的解；

$(2)$左右两边乘以$(x+2)(x-3)$得到$x(x-3)=10+(x+2)(x-3)$，

解得$x=-2$，

检验$x=-2$时$(x+2)(x-3)=0$，

$∴$原分式方程无解．