（1）由题意可得，

数轴上表示$1$和$3$两点之间的距离是：$|3-1|=2$，

数轴上表示$2$和$-5$的两点之间的距离是：$|-5-2|=7$，

故答案为：$2$；$7$；

$(2)$数轴上表示$x$和$-1$的两点之间的距离是：$|x-\left(-1\right)|=|x+1|$；

故答案为：$|x+1|$；

$(3)$根据绝对值的定义有：$|x-2|+|x+1|=5$可表示为$|x-2|+|x-\left(-1\right)|=5$，即表示点$x$到$2$与$-1$两点距离之和，

①当$-1\leqslant x\leqslant 2$时，$|x-2|+|x+1|=2-\left(-1\right)=2+1=3\neq 5$.

②当$x\gt 2$时，$x-2+x+1=5$，

解得：$x=3$；

③当$x\lt -1$时，$2-x-x-1=5$，

解得：$x=-2$；

综上：符合条件$x$的整数值是$-2$，$3$.

故答案为：$-2$或$3$；

$(4)$根据绝对值的定义有：$|x+1|+|x-3|$可表示为$|x-\left(-1\right)|+|x-3|$，即表示点$x$到$-1$与$3$两点距离之和，

根据（3）中的分析可知：当$-1\leqslant x\leqslant 3$时，$|x+1|+|x-3|$有最小值，

最小值即为表示3和-1的两点之间的距离：$3-\left(-1\right)=4$.

此时整数$x$的值为$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$.

（1）由题意可得，

数轴上表示$1$和$3$两点之间的距离是：$|3-1|=2$，

数轴上表示$2$和$-5$的两点之间的距离是：$|-5-2|=7$，

故答案为：$2$；$7$；

$(2)$数轴上表示$x$和$-1$的两点之间的距离是：$|x-\left(-1\right)|=|x+1|$；

故答案为：$|x+1|$；

$(3)$根据绝对值的定义有：$|x-2|+|x+1|=5$可表示为$|x-2|+|x-\left(-1\right)|=5$，即表示点$x$到$2$与$-1$两点距离之和，

①当$-1\leqslant x\leqslant 2$时，$|x-2|+|x+1|=2-\left(-1\right)=2+1=3\neq 5$.

②当$x\gt 2$时，$x-2+x+1=5$，

解得：$x=3$；

③当$x\lt -1$时，$2-x-x-1=5$，

解得：$x=-2$；

综上：符合条件$x$的整数值是$-2$，$3$.

故答案为：$-2$或$3$；

$(4)$根据绝对值的定义有：$|x+1|+|x-3|$可表示为$|x-\left(-1\right)|+|x-3|$，即表示点$x$到$-1$与$3$两点距离之和，

根据（3）中的分析可知：当$-1\leqslant x\leqslant 3$时，$|x+1|+|x-3|$有最小值，

最小值即为表示3和-1的两点之间的距离：$3-\left(-1\right)=4$.

此时整数$x$的值为$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$.