证明：如图，在$AC$上截取$AN=BE$，连接$EN$，作等边三角形$CHF$，连接$NH$，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=CA$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because AN=BE$，
$\therefore CN=CE$，
$\therefore \triangle ECN$是等边三角形，
$\therefore EN=CN$，$\angle ENC=60^{\circ}$，
$\because \triangle CHF$是等边三角形，
$\therefore CF=CH=HF$，$\angle CFH=\angle HCF=\angle CHF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACH=60^{\circ}$，
$\because AD=BE+CF$，$AD=AN+ND=BE+DN$，
$\therefore DN=CF=CH$，
在$\triangle EDN$和$\triangle NHC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=CN}\\{∠ENC=∠ACH}\\{ND=CH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EDN$≌$\triangle NHC\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=NH$，$\angle EDN=\angle CHN$，
$\because \angle EDN+\angle DEN+\angle END=180^{\circ}$，
$\therefore \angle CHN+\angle CNH+\angle CHF=180^{\circ}$，
$\therefore ND$∥$HF$，
$\because ND=HF$，
$\therefore$四边形$NDFH$是平行四边形，
$\therefore NH=DF$，
$\therefore DE=DF$.

证明：如图，在$AC$上截取$AN=BE$，连接$EN$，作等边三角形$CHF$，连接$NH$，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=CA$，$\angle ACB=60^{\circ}$，
$\because AN=BE$，
$\therefore CN=CE$，
$\therefore \triangle ECN$是等边三角形，
$\therefore EN=CN$，$\angle ENC=60^{\circ}$，
$\because \triangle CHF$是等边三角形，
$\therefore CF=CH=HF$，$\angle CFH=\angle HCF=\angle CHF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACH=60^{\circ}$，
$\because AD=BE+CF$，$AD=AN+ND=BE+DN$，
$\therefore DN=CF=CH$，
在$\triangle EDN$和$\triangle NHC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=CN}\\{∠ENC=∠ACH}\\{ND=CH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EDN$≌$\triangle NHC\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=NH$，$\angle EDN=\angle CHN$，
$\because \angle EDN+\angle DEN+\angle END=180^{\circ}$，
$\therefore \angle CHN+\angle CNH+\angle CHF=180^{\circ}$，
$\therefore ND$∥$HF$，
$\because ND=HF$，
$\therefore$四边形$NDFH$是平行四边形，
$\therefore NH=DF$，
$\therefore DE=DF$.