如图$1$中，当$AB=AC$时，

$\because BD\bot AC$，$BD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AB=2BD$，
$\therefore \angle A=30^{\circ}$，
如图$2$中，当$AB=AC$，

$\because BD\bot AC$，$BD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AB=2BD$，
$\therefore \angle DAB=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=150^{\circ}$，

如图$3$中，当$BA=BC$，

$\because BD\bot AC$，$BA=BC$，
$\therefore BD=AD=DC$，
$\therefore \angle A=\angle ABD=\angle CBD=\angle C=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$.
故答案为：$30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$.

如图$1$中，当$AB=AC$时，

$\because BD\bot AC$，$BD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AB=2BD$，
$\therefore \angle A=30^{\circ}$，
如图$2$中，当$AB=AC$，

$\because BD\bot AC$，$BD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AB=2BD$，
$\therefore \angle DAB=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=150^{\circ}$，

如图$3$中，当$BA=BC$，

$\because BD\bot AC$，$BA=BC$，
$\therefore BD=AD=DC$，
$\therefore \angle A=\angle ABD=\angle CBD=\angle C=45^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=90^{\circ}$，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$.
故答案为：$30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$.