证明：连接$AP$，$EF$；

$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且点$P$为斜边$BC$的中点，
$\therefore PA=PB=PC$，$PA\bot BC$；而$\angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APF=\angle BPE$，$\angle PAC=\angle PBA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle PAF=\angle PBE=135^{\circ}$；
在$\triangle APF$与$\triangle BPE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PBE}\\{PA=PB}\\{∠APF=∠BPE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APF$≌$\triangle BPE\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=BE$，而$AB=AC$，
$\therefore AE=CF$.

证明：连接$AP$，$EF$；

$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且点$P$为斜边$BC$的中点，
$\therefore PA=PB=PC$，$PA\bot BC$；而$\angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APF=\angle BPE$，$\angle PAC=\angle PBA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle PAF=\angle PBE=135^{\circ}$；
在$\triangle APF$与$\triangle BPE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PBE}\\{PA=PB}\\{∠APF=∠BPE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APF$≌$\triangle BPE\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=BE$，而$AB=AC$，
$\therefore AE=CF$.