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八年级数学解答题一般
题目
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为"美丽三角形".
(1)(1)如图△ABC\triangle ABC中,AB=AC=5AB=AC=\sqrt{5},BC=2BC=2,求证△ABC\triangle ABC是美丽三角形；
(2)△ABC(2)\triangle ABC是一个美丽三角形,并且∠C=90∘\angle C=90^{\circ},AC=23AC=2\sqrt{3},求BCBC的长.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：过点AA作AD⊥BCAD\bot BC于DD，
∵AB=AC\because AB=AC，AD⊥BCAD\bot BC，
∴BD=12BC=1\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1，
由勾股定理得，AD=AB2−BD2=(5)2−12=2AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{1}^{2}}=2，
∴AD=BC\therefore AD=BC，即△ABC\triangle ABC是“美丽三角形”；
(2)(2)当ACAC边上的中线BDBD等于ACAC时，如图22，
BC=BD2−CD2=(23)2−(3)2=3BC=\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3，
当BCBC边上的中线AEAE等于BCBC时，
AC2=AE2−CE2AC^{2}=AE^{2}-CE^{2}，即BC2−(12BC)2=(23)2BC^{2}-(\frac{1}{2}BC)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}，
解得，BC=4BC=4，
综上所述，BC=3BC=3或BC=4BC=4.

解析

(1)(1)证明：过点AA作AD⊥BCAD\bot BC于DD，
∵AB=AC\because AB=AC，AD⊥BCAD\bot BC，
∴BD=12BC=1\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1，
由勾股定理得，AD=AB2−BD2=(5)2−12=2AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-{1}^{2}}=2，
∴AD=BC\therefore AD=BC，即△ABC\triangle ABC是“美丽三角形”；
(2)(2)当ACAC边上的中线BDBD等于ACAC时，如图22，
BC=BD2−CD2=(23)2−(3)2=3BC=\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3，
当BCBC边上的中线AEAE等于BCBC时，
AC2=AE2−CE2AC^{2}=AE^{2}-CE^{2}，即BC2−(12BC)2=(23)2BC^{2}-(\frac{1}{2}BC)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}，
解得，BC=4BC=4，
综上所述，BC=3BC=3或BC=4BC=4.

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