$(1)$如图①，延长$AD$到点$G$，使$GD=AD$，连接$CG$，

$\because$点$D$为$BC$的中点，

$\therefore CD=BD$，

在$\triangle GCD$和$\triangle ABD$中

$\left\{\begin{array}{l}{GD=AD}\\{\angle GDC=\angle ADB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle GCD$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$，

$\therefore GC=AB=8$，

$\because GC-AC \lt AG \lt GC+AC$，且$AC=6$，$AG=2AD$，

$\therefore 8-6 \lt 2AD \lt 8+6$，

$\therefore 1 \lt AD \lt 7$，

$\therefore AD$的取值范围是$1 \lt AD \lt 7$.

$(2)$证明：如图②，延长$BM$到点$H$，使$HM=BM$，连接$HF$、$BD$、$HD$，

$\because M$为$EF$的中点，

$\therefore FM=EM$，

在$\triangle HFM$和$\triangle BEM$中，

$\left\{\begin{array}{l}{HM=BM}\\{\angle HMF=\angle BME}\\{FM=EM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle HFM$≌$\triangle BEM\left(SAS\right)$，

$\therefore FH=BE$，$HM=BM$，$\angle FHM=\angle EBM$，

$\therefore HF$∥$BE$，

$\therefore \angle CFH=\angle C$，$\angle DFH+\angle CFH=180^{\circ}$，

$\because AB=BE$，

$\therefore FH=AB$，

$\because \angle A+\angle C+\angle ABC+\angle ADC=360^{\circ}$，且$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$，

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$，

$\therefore \angle DFH=\angle A$，

在$\triangle FHD$和$\triangle ABD$中，

$\left\{\begin{array}{l}{FH=AB}\\{\angle DFH=\angle A}\\{FD=AD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle FHD$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$，

$\therefore HD=BD$，

$\therefore DM\bot BM$.

$(1)$如图①，延长$AD$到点$G$，使$GD=AD$，连接$CG$，

$\because$点$D$为$BC$的中点，

$\therefore CD=BD$，

在$\triangle GCD$和$\triangle ABD$中

$\left\{\begin{array}{l}{GD=AD}\\{\angle GDC=\angle ADB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle GCD$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$，

$\therefore GC=AB=8$，

$\because GC-AC \lt AG \lt GC+AC$，且$AC=6$，$AG=2AD$，

$\therefore 8-6 \lt 2AD \lt 8+6$，

$\therefore 1 \lt AD \lt 7$，

$\therefore AD$的取值范围是$1 \lt AD \lt 7$.

$(2)$证明：如图②，延长$BM$到点$H$，使$HM=BM$，连接$HF$、$BD$、$HD$，

$\because M$为$EF$的中点，

$\therefore FM=EM$，

在$\triangle HFM$和$\triangle BEM$中，

$\left\{\begin{array}{l}{HM=BM}\\{\angle HMF=\angle BME}\\{FM=EM}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle HFM$≌$\triangle BEM\left(SAS\right)$，

$\therefore FH=BE$，$HM=BM$，$\angle FHM=\angle EBM$，

$\therefore HF$∥$BE$，

$\therefore \angle CFH=\angle C$，$\angle DFH+\angle CFH=180^{\circ}$，

$\because AB=BE$，

$\therefore FH=AB$，

$\because \angle A+\angle C+\angle ABC+\angle ADC=360^{\circ}$，且$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$，

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$，

$\therefore \angle DFH=\angle A$，

在$\triangle FHD$和$\triangle ABD$中，

$\left\{\begin{array}{l}{FH=AB}\\{\angle DFH=\angle A}\\{FD=AD}\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle FHD$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$，

$\therefore HD=BD$，

$\therefore DM\bot BM$.