我国著名数学家华罗庚说过"数缺形时少直观,形少数时难入微",数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式$|x-2|$的几何意义是数轴上$x$所对应的点与$2$所对应的点之间的距离.因为$|x+1|=|x-\left(-1\right)|$,所以$|x+1|$的几何意义就是数轴上$x$所对应的点与$-1$所对应的点之间的距离.
回答下列问题:
$(1)$①数轴上表示$x$和$2$的两点$A$和$B$之间的距离是______；
②在①的情况下,如果$AB=3$,那么$x$为______；
$(2)$探究问题:代数式$|x+1|+|x-2|$的最小值是多少?
如图,点$A$、$B$、$P$分别表示数$-1$、$2$、$x$,$AB=3$,
$\because |x+1|+|x-2|$的几何意义是线段$PA$与$PB$的长度之和,
$\therefore$当点$P$在线段$AB$上时,$PA+PB=3$,当点$P$在点$A$的左侧或点$B$的右侧时,$PA+PB \gt 3$,
$\therefore |x+1|+|x-2|$的最小值是$3$.
请你根据上述自学材料,探究解决下列问题:
解决问题:
①直接写出式子$|x|+|x-1|+|x-2|$的最小值是______；
②工厂加工车间工作流水线上依次间隔$2$米排着$5$个工作台$A$、$B$、$C$、$D$、$E$,一只配件箱应该放在工作______处,能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短,最短路程是______米.
$(3)$若点$A$、$B$、$C$在数轴上分别表示数$-1$、$1$、$5$,点$A$、$B$、$C$同时开始在数轴上运动,若点$A$以每秒$1$个单位长度的速度向左运动,同时,点$B$和点$C$分别以每秒$1$个单位长度和$3$个单位长度的速度向右运动,假设$t$秒钟过后,若点$B$与点$C$之间的距离表示为$BC$,点$A$与点$B$之间的距离表示为$AB$.请问:$BC-AB$的值是否随着时间$t$的变化而改变?若变化,请说明理由；若不变,请求其值.