（1）①$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$\because ab \lt 0$，
$\therefore a=5$，$b=-3$或$a=-5$，$b=3$；
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5-3=2$，
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2$；
$\therefore a+b$的值为$\pm 2$；
②$\because |a+b|=a+b$，
$\therefore a+b\geqslant 0$，
$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$\therefore a=5$，$b=\pm 3$，
$\therefore$当$a=5$，$b=3$时，$a-b=5-3=2$，
当$a=5$，$b=-3$时，$a-b=5-\left(-3\right)=8$，
$\therefore a-b$的值为$2$或$8$；
$(2)$由题意$|a-1|+|b-2|=0$，
$\therefore a=1$，$b=2$，
$\therefore a+b=1+2=3$.

（1）①$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$\because ab \lt 0$，
$\therefore a=5$，$b=-3$或$a=-5$，$b=3$；
当$a=5$，$b=-3$时，$a+b=5-3=2$，
当$a=-5$，$b=3$时，$a+b=-5+3=-2$；
$\therefore a+b$的值为$\pm 2$；
②$\because |a+b|=a+b$，
$\therefore a+b\geqslant 0$，
$\because |a|=5$，$|b|=3$，
$\therefore a=\pm 5$，$b=\pm 3$，
$\therefore a=5$，$b=\pm 3$，
$\therefore$当$a=5$，$b=3$时，$a-b=5-3=2$，
当$a=5$，$b=-3$时，$a-b=5-\left(-3\right)=8$，
$\therefore a-b$的值为$2$或$8$；
$(2)$由题意$|a-1|+|b-2|=0$，
$\therefore a=1$，$b=2$，
$\therefore a+b=1+2=3$.