【初步感知】
$(1)$在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图$1$,将等腰三角形纸片$ABC$与等腰三角形纸片$ABD$按图示位置摆放,其中$AB=BC$,$AD=BD$.
求证:$\angle ABC=\angle ADB$,请你完成证明.
【深入探究】
$(2)$如图$2$,$\triangle ABC$中,$AB=BC$,点$M$在底边$AC$上,$\angle BMN=\angle ABC=\alpha$,$BM=MN$,点$N$在点$A$的右侧,连接$AN$.求证:$AN$∥$BC.$
小明和小红分别给出如下思路:
①小明同学从轴对称变化的角度做了研究:以$AM$为对称轴,利用轴对称构造一个与$\triangle ANM$全等的三角形,通过研究角的大小关系解决了问题.
②小红同学从旋转变化的角度做了研究:以点$M$为旋转中心,利用旋转构造一个与$\triangle ANM$全等的三角形,也通过研究角的大小关系解决了问题.
请你选择一名同学的思路,写出证明过程.
【学以致用】
为了帮助学生更好地感悟类比推理思想,李老师将图$2$进行修改并提出下面问题,请你解答.
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,将"点$N$在点$A$的右侧"改为"点$N$在点$A$的左侧",其他条件不变,点$E$在线段$AB$上,且满足$\angle BMC=2\angle AME$,当$\alpha =60^{\circ}$,$CM=m$,$BN=n$时,求$AE$的长.(用含$m$,$n$的式子表示）
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