八年级数学解答题三角形｜试题答案与解析

八年级数学解答题一般

题目

【初步感知】

(1)

在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图

1

,将等腰三角形纸片

ABC

与等腰三角形纸片

ABD

按图示位置摆放,其中

AB=BC

AD=BD

.
求证:

\angle ABC=\angle ADB

,请你完成证明.
【深入探究】

(2)

如图

2

\triangle ABC

中,

AB=BC

,点

M

在底边

AC

上,

\angle BMN=\angle ABC=\alpha

BM=MN

,点

N

在点

A

的右侧,连接

AN

.求证:

AN

∥

BC.

小明和小红分别给出如下思路:
①小明同学从轴对称变化的角度做了研究:以

AM

为对称轴,利用轴对称构造一个与

\triangle ANM

全等的三角形,通过研究角的大小关系解决了问题.
②小红同学从旋转变化的角度做了研究:以点

M

为旋转中心,利用旋转构造一个与

\triangle ANM

全等的三角形,也通过研究角的大小关系解决了问题.
请你选择一名同学的思路,写出证明过程.
【学以致用】
为了帮助学生更好地感悟类比推理思想,李老师将图

2

进行修改并提出下面问题,请你解答.

(3)

如图

3

,在（2）的条件下,将"点

N

在点

A

的右侧"改为"点

N

在点

A

的左侧",其他条件不变,点

E

在线段

AB

上,且满足

\angle BMC=2\angle AME

,当

\alpha =60^{\circ}

CM=m

BN=n

时,求

AE

的长.(用含

m

n

的式子表示）

知识点：三角形章节：第13章三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

证明： $\left(1\right)\because AB=BC$ ，

$\therefore \angle A=\angle C$ ，

$\because AD=DB$ ，

$\therefore \angle A=\angle DBA$ ，

$\therefore \angle A=\angle C=\angle DBA$ ，

$\because$ 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C$ ，

在 $\triangle ABD$ 中， $\angle ADB=180^{\circ}-\angle A-\angle DBA$ ，

$\therefore \angle ABC=\angle ADC$ ；

$(2)$ ①选择小明同学，在 $AB$ 上去点 $E$ ，使 $ME=MB$ ，，如图所示：

$\therefore \angle MEB=\angle MBA$ ，

由（1）得， $\angle 4=\angle C$ ， $\angle 3=\angle 5$ ，

$\because \angle 4+\angle C=180^{\circ}-\angle ABC$ ，

$\angle 3+\angle 5=180^{\circ}-\angle BMN$ ，

$\therefore \angle BMN=\angle ABC$ ，

$\therefore 4=\angle C=\angle 3=\angle 5$ ，

$\because$ 在 $\triangle ABF$ 中， $\angle 4+\angle 6+\angle AFB=180^{\circ}$ ，

在 $\triangle MNF$ 中， $\angle 3+\angle 1+\angle NFM=180^{\circ}$ ，

又 $\because \angle AFB=\angle NFM$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 6$ ，

$\because \angle MEB=\angle 2+\angle 4$ ， $\angle EBM=\angle 6+\angle 5$ ，

$\therefore \angle 2=\angle 6$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2$ ，

又 $\because AM=AM$ ， $EM=NM$ ，

$\therefore \triangle AEM$ ≌ $\triangle ANM\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle 4=\angle 7$ ，

$\therefore \angle C=\angle 7$

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ；

②选择小红同学，在 $AB$ 的延长线取点 $F$ ，使 $MA=MF$ ，如图所示：

. $\therefore \angle 4=\angle F=\angle 3=\angle 5$ ，

由（1）得， $\angle AMF=\angle BMN$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2$ ，

由（1）得， $\angle 4=\angle C$ ， $\angle 3=\angle 5$ ，

$\because \angle 4+\angle C=180^{\circ}-\angle ABC$ ， $\angle 3+\angle 5=180^{\circ}-\angle BMN$ ，

$\because \angle BMN=\angle ABC$ ，

$\therefore \angle 4=\angle C=\angle 3=\angle 5$ ，

$\because AM=MF$ ， $NM=BM$ ，

$\therefore \triangle FBM$ ≌ $\triangle ANM\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle 6=\angle F$ ，

$\therefore \angle C=\angle 6$ ，

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ；

$(3)$ 延长 $NA$ ，过点 $A$ 作 $AE=AE$ 交 $NA$ 于点 $E$ ，连接 $ME$ ，如图所示：

$\therefore \angle EAC=\angle C=\angle EAC=60^{\circ}$ ，

$\because AB=BC$ ， $MN=MB$ ， $\angle BMN=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \triangle ABC$ 和 $\triangle BMN$ 为等边三角形，

$\therefore BM=BN=NM=n$ ， $\angle NBM=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle NBA=\angle 4$ ，

$\therefore \triangle ANB$ ≌ $\triangle CMB\left(SAS\right)$ ，

$\therefore AN=MC=m$ ， $\angle NAB=\angle C=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ，

$\because AM=AM$ ，

$\therefore \triangle AEM$ ≌ $\triangle AE\’M\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle AME=\angle AME\’=a$ ，

$\therefore \angle {E\’}=120^{\circ}-a$ ，

$\because \angle BMC=2\angle AME=2a$ ，

$\therefore \angle 4=120^{\circ}-2a$ ， $\angle 1=2a-60^{\circ}$ ，

$\because \angle NAB=\angle NMB=60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2=2a-60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle NME\’=120^{\circ}-a$ ，

$\therefore \angle NME\’=\angle {E\’}$ ，

$\therefore NM=NE\’=n$ ，

$\therefore AE=AE\’={N\’}E-AN=n-m$ .

解析

证明： $\left(1\right)\because AB=BC$ ，

$\therefore \angle A=\angle C$ ，

$\because AD=DB$ ，

$\therefore \angle A=\angle DBA$ ，

$\therefore \angle A=\angle C=\angle DBA$ ，

$\because$ 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C$ ，

在 $\triangle ABD$ 中， $\angle ADB=180^{\circ}-\angle A-\angle DBA$ ，

$\therefore \angle ABC=\angle ADC$ ；

$(2)$ ①选择小明同学，在 $AB$ 上去点 $E$ ，使 $ME=MB$ ，，如图所示：

$\therefore \angle MEB=\angle MBA$ ，

由（1）得， $\angle 4=\angle C$ ， $\angle 3=\angle 5$ ，

$\because \angle 4+\angle C=180^{\circ}-\angle ABC$ ，

$\angle 3+\angle 5=180^{\circ}-\angle BMN$ ，

$\therefore \angle BMN=\angle ABC$ ，

$\therefore 4=\angle C=\angle 3=\angle 5$ ，

$\because$ 在 $\triangle ABF$ 中， $\angle 4+\angle 6+\angle AFB=180^{\circ}$ ，

在 $\triangle MNF$ 中， $\angle 3+\angle 1+\angle NFM=180^{\circ}$ ，

又 $\because \angle AFB=\angle NFM$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 6$ ，

$\because \angle MEB=\angle 2+\angle 4$ ， $\angle EBM=\angle 6+\angle 5$ ，

$\therefore \angle 2=\angle 6$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2$ ，

又 $\because AM=AM$ ， $EM=NM$ ，

$\therefore \triangle AEM$ ≌ $\triangle ANM\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle 4=\angle 7$ ，

$\therefore \angle C=\angle 7$

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ；

②选择小红同学，在 $AB$ 的延长线取点 $F$ ，使 $MA=MF$ ，如图所示：

. $\therefore \angle 4=\angle F=\angle 3=\angle 5$ ，

由（1）得， $\angle AMF=\angle BMN$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2$ ，

由（1）得， $\angle 4=\angle C$ ， $\angle 3=\angle 5$ ，

$\because \angle 4+\angle C=180^{\circ}-\angle ABC$ ， $\angle 3+\angle 5=180^{\circ}-\angle BMN$ ，

$\because \angle BMN=\angle ABC$ ，

$\therefore \angle 4=\angle C=\angle 3=\angle 5$ ，

$\because AM=MF$ ， $NM=BM$ ，

$\therefore \triangle FBM$ ≌ $\triangle ANM\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle 6=\angle F$ ，

$\therefore \angle C=\angle 6$ ，

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ；

$(3)$ 延长 $NA$ ，过点 $A$ 作 $AE=AE$ 交 $NA$ 于点 $E$ ，连接 $ME$ ，如图所示：

$\therefore \angle EAC=\angle C=\angle EAC=60^{\circ}$ ，

$\because AB=BC$ ， $MN=MB$ ， $\angle BMN=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \triangle ABC$ 和 $\triangle BMN$ 为等边三角形，

$\therefore BM=BN=NM=n$ ， $\angle NBM=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle NBA=\angle 4$ ，

$\therefore \triangle ANB$ ≌ $\triangle CMB\left(SAS\right)$ ，

$\therefore AN=MC=m$ ， $\angle NAB=\angle C=\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore AN$ ∥ $BC$ ，

$\because AM=AM$ ，

$\therefore \triangle AEM$ ≌ $\triangle AE\’M\left(SAS\right)$ ，

$\therefore \angle AME=\angle AME\’=a$ ，

$\therefore \angle {E\’}=120^{\circ}-a$ ，

$\because \angle BMC=2\angle AME=2a$ ，

$\therefore \angle 4=120^{\circ}-2a$ ， $\angle 1=2a-60^{\circ}$ ，

$\because \angle NAB=\angle NMB=60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle 1=\angle 2=2a-60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle NME\’=120^{\circ}-a$ ，

$\therefore \angle NME\’=\angle {E\’}$ ，

$\therefore NM=NE\’=n$ ，

$\therefore AE=AE\’={N\’}E-AN=n-m$ .

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