$(1)$证明：$\triangle ADE$是等边三角形，理由如下：
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$，
$\because DE$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B=60^{\circ}$，$\angle AED=\angle C=60^{\circ}$，
$\because \angle A=\angle ADE=\angle AED=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE$是等边三角形，
故答案为：等边；
$(2)$①$AD=BF$，理由如下：
$\because AC=BC$，点$D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=BD$，$\angle ACD=\angle BCD=30^{\circ}$，
$\because DF=DC$，
$\therefore \angle F=\angle BCD=30^{\circ}$，
$\because \angle ABC$是$\triangle BDF$的外角，
$\therefore \angle F+\angle BDF=\angle ABC$，
$\because \angle F=30^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDF=30^{\circ}$，
$\because \angle F=\angle BDF=30^{\circ}$，
$\therefore BD=BF$，
$\because BF=AD$，
$\therefore AD=BF$；
故答案为：$AD=BF$；
②$AD=BF$，理由如下：
在$BC$上截取$BE=BD$，连接$DE$，
$\because AB=BC$，$BD=BE$，
$\therefore AB-BD=BC-BE$，
$\therefore AD=CE$，
$\because \angle ABC=60^{\circ}$，$BE=BD$，
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore BD=BE$，
$\because DF=DC$，
$\therefore \angle F=\angle DCE$，
$\because \angle ABC$是$\triangle BDF$的外角，$\angle DEB$是$\triangle CDE$的外角，
$\therefore \angle F+\angle BDF=60^{\circ}$，$\angle DCE+\angle CDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDF=\angle EDC$，
$\because DF=DC$，$DB=DE$，
$\therefore \triangle BDF$≌$\triangle EDC\left(SAS\right)$，
$\therefore BF=CE$，
$\because AD=CE$，
$\therefore AD=BF$；

③$\because \triangle ABC$的边长为$2$，$AD=3$，
$\therefore$点$D$在线段$AB$的延长线上或线段$BA$的延长线上，
若点$D$在线段$AB$的延长线上，在$BF$上截取$BE=BD$，
$\because AD=3$，$AB=2$，
$\therefore BD=1$，
$\because \angle DBE=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=DB=BE=1$，
$\because \angle DEF+\angle F=\angle DBC+\angle BCD=60^{\circ}$，且$\angle F=\angle BCD$，
$\therefore \angle DEF=\angle DBC$，
$\because DE=DB$，$DF=DC$，
$\therefore \triangle DEF$≌$\triangle DBC\left(SAS\right)$，
$\therefore EF=BC=2$，
$\therefore CF=EF+BE+BC=5$；

若点$D$在线段$BA$的延长线上，作$DE\bot AC$，交直线$BC$于点$E$，
$\therefore \angle DEB=90^{\circ}$，
$\because \angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=30^{\circ}$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD$，
$\because AB=2$，$AD=2$，
$\therefore BD=5$，
$\therefore BE=\frac{5}{2}$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}$，
$\because DC=DF$，
$\therefore CE=EF=\frac{1}{2}$，
$\therefore CF=1$.

综上所述，$CF$的长是$5$或$1$.
故答案为：$5$或$1$.

$(1)$证明：$\triangle ADE$是等边三角形，理由如下：
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$，
$\because DE$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B=60^{\circ}$，$\angle AED=\angle C=60^{\circ}$，
$\because \angle A=\angle ADE=\angle AED=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ADE$是等边三角形，
故答案为：等边；
$(2)$①$AD=BF$，理由如下：
$\because AC=BC$，点$D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=BD$，$\angle ACD=\angle BCD=30^{\circ}$，
$\because DF=DC$，
$\therefore \angle F=\angle BCD=30^{\circ}$，
$\because \angle ABC$是$\triangle BDF$的外角，
$\therefore \angle F+\angle BDF=\angle ABC$，
$\because \angle F=30^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDF=30^{\circ}$，
$\because \angle F=\angle BDF=30^{\circ}$，
$\therefore BD=BF$，
$\because BF=AD$，
$\therefore AD=BF$；
故答案为：$AD=BF$；
②$AD=BF$，理由如下：
在$BC$上截取$BE=BD$，连接$DE$，
$\because AB=BC$，$BD=BE$，
$\therefore AB-BD=BC-BE$，
$\therefore AD=CE$，
$\because \angle ABC=60^{\circ}$，$BE=BD$，
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore BD=BE$，
$\because DF=DC$，
$\therefore \angle F=\angle DCE$，
$\because \angle ABC$是$\triangle BDF$的外角，$\angle DEB$是$\triangle CDE$的外角，
$\therefore \angle F+\angle BDF=60^{\circ}$，$\angle DCE+\angle CDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDF=\angle EDC$，
$\because DF=DC$，$DB=DE$，
$\therefore \triangle BDF$≌$\triangle EDC\left(SAS\right)$，
$\therefore BF=CE$，
$\because AD=CE$，
$\therefore AD=BF$；

③$\because \triangle ABC$的边长为$2$，$AD=3$，
$\therefore$点$D$在线段$AB$的延长线上或线段$BA$的延长线上，
若点$D$在线段$AB$的延长线上，在$BF$上截取$BE=BD$，
$\because AD=3$，$AB=2$，
$\therefore BD=1$，
$\because \angle DBE=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=DB=BE=1$，
$\because \angle DEF+\angle F=\angle DBC+\angle BCD=60^{\circ}$，且$\angle F=\angle BCD$，
$\therefore \angle DEF=\angle DBC$，
$\because DE=DB$，$DF=DC$，
$\therefore \triangle DEF$≌$\triangle DBC\left(SAS\right)$，
$\therefore EF=BC=2$，
$\therefore CF=EF+BE+BC=5$；

若点$D$在线段$BA$的延长线上，作$DE\bot AC$，交直线$BC$于点$E$，
$\therefore \angle DEB=90^{\circ}$，
$\because \angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=30^{\circ}$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD$，
$\because AB=2$，$AD=2$，
$\therefore BD=5$，
$\therefore BE=\frac{5}{2}$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}$，
$\because DC=DF$，
$\therefore CE=EF=\frac{1}{2}$，
$\therefore CF=1$.

综上所述，$CF$的长是$5$或$1$.
故答案为：$5$或$1$.