A

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$AB=6\sqrt{3}$，
$\therefore AC=2BC$，
$\because AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，
$\therefore BC=6$，$AC=12$，
$\therefore BD=BC-CD=2$，
延长$DB$到$F$，使得$BF=BD=2$，连接$EF$交$AB$于$P$，取$BC$的中点$Q$，连接$EQ$，
$\therefore D$、$F$关于$AB$对称，
$\therefore PF=DF$，$BQ=\frac{1}{2}BC=3$，
$\therefore PD+PE=PE+PF\geqslant EF$，
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore EQ=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{3},EQ$∥$AB$，
$\therefore EQ\bot BC$，
$\therefore EF=\sqrt{E{Q}^{2}+F{Q}^{2}}=2\sqrt{13}$，
故选：$A$.