C

蚂蚁也可以沿$A-B-C$的路线爬行，$AB+BC=6$，
把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点$A$、$C$的最短距离为线段$AC$的长.
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC=90^{\circ}$，$CD=AB=3$，$AD$为底面半圆弧长，$AD=1.5\pi$，
所以$AC=\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$
$=\sqrt{{3}^{2}+(\frac{3π}{2})^{2}}$
$=\sqrt{9+\frac{9{π}^{2}}{4}}$
$=\frac{3\sqrt{4+{π}^{2}}}{2} \lt 6$，
故选：$C$.