$(1)$证明：$\because AM\bot BD$，

$\therefore \angle AMB=90^{\circ}$，

$\because \angle ABM=30^{\circ}$，

$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=2$；

$(2)$证明：过点$A$作$AE\bot BM$于点$E$，$MF\bot AC$于点$F$，

$\because AB=BM$，$\angle ABD=30^{\circ}$，

$\therefore \angle BAM=\angle BMA=75^{\circ}$，$AE=\frac{1}{2}AB$，

$\therefore \angle EAM=15^{\circ}$，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle DAM=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$，

$\therefore \angle EAM=\angle DAM$，

又$\because \angle AEM=\angle AFM$，$AM=AM$，

$\therefore \triangle AEM$≌$\triangle AFM\left(AAS\right)$，

$\therefore AE=AF$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AF=\frac{1}{2}AC$，

$\therefore AF=CF$，

又$\because MF\bot AC$，

$\therefore AM=CM$；

$(3)$过点$M$作$MG\bot AB$于$G$，

$\because MG\bot AB$，$\angle ABD=30^{\circ}$，

$\therefore MG=\frac{1}{2}BM$，

$\therefore BM+2CM=2(\frac{1}{2}BM+CM)=2\left(MG+CM\right)$，

$\therefore$当$M$，$A$，$C$三点共线时，即$CM+MG=AC$，$BM+2CM$有最小值.

$\therefore BM+2CM=2AC=2\times 4=8$.

$(1)$证明：$\because AM\bot BD$，

$\therefore \angle AMB=90^{\circ}$，

$\because \angle ABM=30^{\circ}$，

$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=2$；

$(2)$证明：过点$A$作$AE\bot BM$于点$E$，$MF\bot AC$于点$F$，

$\because AB=BM$，$\angle ABD=30^{\circ}$，

$\therefore \angle BAM=\angle BMA=75^{\circ}$，$AE=\frac{1}{2}AB$，

$\therefore \angle EAM=15^{\circ}$，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，

$\therefore \angle DAM=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$，

$\therefore \angle EAM=\angle DAM$，

又$\because \angle AEM=\angle AFM$，$AM=AM$，

$\therefore \triangle AEM$≌$\triangle AFM\left(AAS\right)$，

$\therefore AE=AF$，

$\because AB=AC$，

$\therefore AF=\frac{1}{2}AC$，

$\therefore AF=CF$，

又$\because MF\bot AC$，

$\therefore AM=CM$；

$(3)$过点$M$作$MG\bot AB$于$G$，

$\because MG\bot AB$，$\angle ABD=30^{\circ}$，

$\therefore MG=\frac{1}{2}BM$，

$\therefore BM+2CM=2(\frac{1}{2}BM+CM)=2\left(MG+CM\right)$，

$\therefore$当$M$，$A$，$C$三点共线时，即$CM+MG=AC$，$BM+2CM$有最小值.

$\therefore BM+2CM=2AC=2\times 4=8$.