$\left(1\right)\because$新的六边形是原六边形向外扩张得到，
$\therefore$新的六边形与原六边形相似.
故答案为：相似；
$(2)$如图，$A_{1}B_{1}$的对应边，点$O$为正六边的中心，则点$A$在$OA_{1}$上，点$B$在$OB_{1}$上，过$O$点作$OH_{1}\bot A_{1}B_{1}$交$AB$于$H$点，则$HH_{1}=\sqrt{3}$，
$\because AB$为正六边的边长，
$\therefore \angle AOB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=30^{\circ}$，$AH=BH=1$，
$\therefore OH=\sqrt{3}AH=\sqrt{3}$，
$\therefore OH=HH_{1}$，
$\because AB$∥$A_{1}B_{1}$，
$\therefore \frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{OH}{O{H}_{1}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore A_{1}B_{1}=2AB=4$，
$\therefore A_{1}B_{1}-AB=2$，
即扩张后六边形的边长比原来增加了$2$，
$\therefore$扩张后六边形的周长比原来增加了$12$.
故答案为：$12$.

$\left(1\right)\because$新的六边形是原六边形向外扩张得到，
$\therefore$新的六边形与原六边形相似.
故答案为：相似；
$(2)$如图，$A_{1}B_{1}$的对应边，点$O$为正六边的中心，则点$A$在$OA_{1}$上，点$B$在$OB_{1}$上，过$O$点作$OH_{1}\bot A_{1}B_{1}$交$AB$于$H$点，则$HH_{1}=\sqrt{3}$，
$\because AB$为正六边的边长，
$\therefore \angle AOB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=30^{\circ}$，$AH=BH=1$，
$\therefore OH=\sqrt{3}AH=\sqrt{3}$，
$\therefore OH=HH_{1}$，
$\because AB$∥$A_{1}B_{1}$，
$\therefore \frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{OH}{O{H}_{1}}=\frac{1}{2}$，
$\therefore A_{1}B_{1}=2AB=4$，
$\therefore A_{1}B_{1}-AB=2$，
即扩张后六边形的边长比原来增加了$2$，
$\therefore$扩张后六边形的周长比原来增加了$12$.
故答案为：$12$.