（1）猜想结论：$DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$，
以$BD$为边向下作等边$\triangle BDE$，连接$EC$.

$\because \triangle ABC$，$\triangle BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$BD=BE=DE$，$\angle ABC=\angle DBE=\angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=CE$，
$\because \angle CDB=30^{\circ}$，$\angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=90^{\circ}$，
$\therefore CE^{2}=CD^{2}+DE^{2}$，
$\because DB=DE$，$DA=EC$，
$\therefore DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$.
故答案为：$DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$；
$(2)$见第一问；
$(3)$以$BD$为边向下作等边$\triangle BDE$，连接$EC$，作$EH\bot CD$交$CD$的延长线于$H$

$\because \triangle ABC$，$\triangle BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC，BD=BE=DE=5\sqrt{2}，∠ABC=∠DBE=∠BDE=60°$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=CE=13$，
设$EH=x$，$DH=y$，
在$Rt\triangle DEH$中，$DH^{2}+EH^{2}=DE^{2}$，则${x}^{2}+{y}^{2}={(5\sqrt{2})}^{2}=50$，
在$Rt\triangle CEH$中，$CH^{2}+EH^{2}=CE^{2}$，则$\left(7+y\right)^{2}+x^{2}=13^{2}$，整理得$49+14y+y^{2}+x^{2}=169$，
$\therefore 49+14y+50=169$，解得$y=5$，
把$y=5$代入${x}^{2}+{y}^{2}={(5\sqrt{2})}^{2}=50$得$x=\pm 5(负值舍去)$，
$\therefore x=y=5$，
$\therefore EH=DH$，
$\because \angle H=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDH=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=135^{\circ}$，
$\because \angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=135^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.

（1）猜想结论：$DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$，
以$BD$为边向下作等边$\triangle BDE$，连接$EC$.

$\because \triangle ABC$，$\triangle BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$BD=BE=DE$，$\angle ABC=\angle DBE=\angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=CE$，
$\because \angle CDB=30^{\circ}$，$\angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=90^{\circ}$，
$\therefore CE^{2}=CD^{2}+DE^{2}$，
$\because DB=DE$，$DA=EC$，
$\therefore DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$.
故答案为：$DA^{2}=DC^{2}+DB^{2}$；
$(2)$见第一问；
$(3)$以$BD$为边向下作等边$\triangle BDE$，连接$EC$，作$EH\bot CD$交$CD$的延长线于$H$

$\because \triangle ABC$，$\triangle BDE$都是等边三角形，
$\therefore AB=BC，BD=BE=DE=5\sqrt{2}，∠ABC=∠DBE=∠BDE=60°$，
$\therefore \angle ABD=\angle CBE$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle CBE\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=CE=13$，
设$EH=x$，$DH=y$，
在$Rt\triangle DEH$中，$DH^{2}+EH^{2}=DE^{2}$，则${x}^{2}+{y}^{2}={(5\sqrt{2})}^{2}=50$，
在$Rt\triangle CEH$中，$CH^{2}+EH^{2}=CE^{2}$，则$\left(7+y\right)^{2}+x^{2}=13^{2}$，整理得$49+14y+y^{2}+x^{2}=169$，
$\therefore 49+14y+50=169$，解得$y=5$，
把$y=5$代入${x}^{2}+{y}^{2}={(5\sqrt{2})}^{2}=50$得$x=\pm 5(负值舍去)$，
$\therefore x=y=5$，
$\therefore EH=DH$，
$\because \angle H=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDH=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=135^{\circ}$，
$\because \angle BDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=135^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.