D

由二次函数图象可知$a \gt 0$，$b \gt 0$，$c \lt 0$，
$\therefore -abc \gt 0$，
$\therefore$直线$y_{3}=cx-abc$过一、二、四象限，
当$x=-1$时$y_{1}=a-b+c \lt 0$，
$\therefore$双曲线$y_2=\frac{a-b+c}{x}$过二、四象限，
$\therefore$双曲线$y_2=\frac{a-b+c}{x}$和直线$y_{3}=cx-abc$的位置都符合条件的只有$D$选项，
故选：$D$.