证明：$\left(1\right)\because AD\bot BC$，$\angle EDF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD\bot BC$，
$\therefore \angle B=\angle DAC=\angle DAB=45^{\circ}$，$AD=BD$，
即$\angle B=\angle DAF$，
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF\\ DB=DA\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle ADF\left(ASA\right)$，
$\therefore BE=AF$，
$(2)$过点$M$作$MP$∥$BC$交$AB$的延长线于$P$，

$\therefore \angle AMP=\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle P=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle AMP$为等腰直角三角形，
$\therefore MP=MA$，
$\because \angle AMP=90^{\circ}$，$\angle BMN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BMP=\angle AMN$，
在$\triangle BME$和$\triangle AMN$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠P=∠MAN\\ MP=MA\\∠BMP=∠AMN\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BMP$≌$\triangle NMA\left(ASA\right)$，
$\therefore MB=MN$.

证明：$\left(1\right)\because AD\bot BC$，$\angle EDF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD\bot BC$，
$\therefore \angle B=\angle DAC=\angle DAB=45^{\circ}$，$AD=BD$，
即$\angle B=\angle DAF$，
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF\\ DB=DA\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle ADF\left(ASA\right)$，
$\therefore BE=AF$，
$(2)$过点$M$作$MP$∥$BC$交$AB$的延长线于$P$，

$\therefore \angle AMP=\angle ADB=90^{\circ}$，$\angle P=\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle AMP$为等腰直角三角形，
$\therefore MP=MA$，
$\because \angle AMP=90^{\circ}$，$\angle BMN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BMP=\angle AMN$，
在$\triangle BME$和$\triangle AMN$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠P=∠MAN\\ MP=MA\\∠BMP=∠AMN\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BMP$≌$\triangle NMA\left(ASA\right)$，
$\therefore MB=MN$.