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八年级数学解答题一般
题目
规定:顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为"友好三角形".

(1)(1)如图①,在△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE中,AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,当∠BAC\angle BAC、∠BAD\angle BAD、∠BAE\angle BAE满足什么条件时,△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为"友好三角形"；
(2)(2)如图②,在四边形ABCDABCD中,AD=ABAD=AB,∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ},AC=BC+DCAC=BC+DC,求∠BAD\angle BAD的度数.
(3)(3)如图③,在△ABC\triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为"友好三角形",AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,BEBE,CDCD相交于点MM,连AMAM,求证:MAMA平分∠BMD\angle BMD.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵△ABC\because \triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为“友好三角形”，
∴∠BAC=∠DAE\therefore \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE\therefore \angle BAD+\angle DAC=\angle DAC+\angle CAE，即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
∵∠BAC+∠CAE=∠BAE\because \angle BAC+\angle CAE=\angle BAE，
∴∠BAC+∠BAD=∠BAE\therefore \angle BAC+\angle BAD=\angle BAE；
(2)(2)如图②，延长CDCD到EE，使DE=BCDE=BC，连接AEAE，

∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，
∴∠ABC+∠ADC=360∘−(∠BAD+∠BCD)=180∘\therefore \angle ABC+\angle ADC=360^{\circ}-\left(\angle BAD+\angle BCD\right)=180^{\circ}，
∵∠ADE+∠ADC=180∘\because \angle ADE+\angle ADC=180^{\circ}，
∴∠ADE=∠ABC\therefore \angle ADE=\angle ABC，
∵AD=AB\because AD=AB，∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC，DE=BCDE=BC，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△ABC(SAS)\triangle ABC\left(SAS\right)，
∴AE=AC\therefore AE=AC，∠BAC=∠DAE\angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
∵AC=BC+DC=CE\because AC=BC+DC=CE，
∴AC=CE=AE\therefore AC=CE=AE，
∴△ACE\therefore \triangle ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60∘\therefore \angle BAD=\angle CAE=60^{\circ}，
∴∠BAD\therefore \angle BAD的度数为60∘60^{\circ}.
(3)(3)证明：∵△ABC\because \triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为“友好三角形”，
∴∠BAC=∠EAD\therefore \angle BAC=\angle EAD，
∴∠BAE=∠CAD\therefore \angle BAE=\angle CAD，
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAE=∠CAD\angle BAE=\angle CAD，AE=ADAE=AD，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△ACD(SAS)\triangle ACD\left(SAS\right)，
如图③，作AQ⊥BEAQ\bot BE于QQ，作AP⊥CDAP\bot CD于PP，

∵△ABE\because \triangle ABE≌△ACD(SAS)\triangle ACD\left(SAS\right)，
∴AP=AQ\therefore AP=AQ，
又∵AQ⊥BE\because AQ\bot BE，AP⊥CDAP\bot CD，
∴MA\therefore MA平分∠BMD\angle BMD.

解析

(1)(1)∵△ABC\because \triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为“友好三角形”，
∴∠BAC=∠DAE\therefore \angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE\therefore \angle BAD+\angle DAC=\angle DAC+\angle CAE，即∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
∵∠BAC+∠CAE=∠BAE\because \angle BAC+\angle CAE=\angle BAE，
∴∠BAC+∠BAD=∠BAE\therefore \angle BAC+\angle BAD=\angle BAE；
(2)(2)如图②，延长CDCD到EE，使DE=BCDE=BC，连接AEAE，

∵∠BAD+∠BCD=180∘\because \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}，
∴∠ABC+∠ADC=360∘−(∠BAD+∠BCD)=180∘\therefore \angle ABC+\angle ADC=360^{\circ}-\left(\angle BAD+\angle BCD\right)=180^{\circ}，
∵∠ADE+∠ADC=180∘\because \angle ADE+\angle ADC=180^{\circ}，
∴∠ADE=∠ABC\therefore \angle ADE=\angle ABC，
∵AD=AB\because AD=AB，∠ADE=∠ABC\angle ADE=\angle ABC，DE=BCDE=BC，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△ABC(SAS)\triangle ABC\left(SAS\right)，
∴AE=AC\therefore AE=AC，∠BAC=∠DAE\angle BAC=\angle DAE，
∴∠BAD=∠CAE\therefore \angle BAD=\angle CAE，
∵AC=BC+DC=CE\because AC=BC+DC=CE，
∴AC=CE=AE\therefore AC=CE=AE，
∴△ACE\therefore \triangle ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60∘\therefore \angle BAD=\angle CAE=60^{\circ}，
∴∠BAD\therefore \angle BAD的度数为60∘60^{\circ}.
(3)(3)证明：∵△ABC\because \triangle ABC与△ADE\triangle ADE互为“友好三角形”，
∴∠BAC=∠EAD\therefore \angle BAC=\angle EAD，
∴∠BAE=∠CAD\therefore \angle BAE=\angle CAD，
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAE=∠CAD\angle BAE=\angle CAD，AE=ADAE=AD，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△ACD(SAS)\triangle ACD\left(SAS\right)，
如图③，作AQ⊥BEAQ\bot BE于QQ，作AP⊥CDAP\bot CD于PP，

∵△ABE\because \triangle ABE≌△ACD(SAS)\triangle ACD\left(SAS\right)，
∴AP=AQ\therefore AP=AQ，
又∵AQ⊥BE\because AQ\bot BE，AP⊥CDAP\bot CD，
∴MA\therefore MA平分∠BMD\angle BMD.

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