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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,ADAD是∠BAC\angle BAC的平分线,ADAD的垂直平分线交ADAD于点EE,交BCBC的延长线于点FF,连接AFAF.
求证:(1)△ABF\left(1\right)\triangle ABF∽△CAF\triangle CAF；
(2)FD2=FC⋅FB(2)FD^{2}=FC\cdot FB.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

证明：(1)∵EF\left(1\right)\because EF垂直平分ADAD，
∴AF=DF\therefore AF=DF，
∴∠FAD=∠3\therefore \angle FAD=\angle 3，
∵∠3=∠B+∠1\because \angle 3=\angle B+\angle 1，∠2+∠4=∠FAD\angle 2+\angle 4=\angle FAD，
∴∠B=∠3−∠1\therefore \angle B=\angle 3-\angle 1，∠4=∠FAD−∠2\angle 4=\angle FAD-\angle 2，
∵AD\because AD是∠BAC\angle BAC的平分线，
∴∠1=∠2\therefore \angle 1=\angle 2，
∴∠B=∠4\therefore \angle B=\angle 4，
又∵∠BFA=∠AFC\because \angle BFA=\angle AFC，
∴△ABF\therefore \triangle ABF∽△CAF\triangle CAF；
(2)∵△ABF(2)\because \triangle ABF∽△CAF\triangle CAF，
∴FBFA=FAFC\therefore \frac{FB}{FA}=\frac{FA}{FC}，
∴FA2=FB⋅FC\therefore FA^{2}=FB\cdot FC，
∵EF\because EF垂直平分ADAD，
∴FA=FD\therefore FA=FD，
∴FD2=FC⋅FB\therefore FD^{2}=FC\cdot FB.

解析

证明：(1)∵EF\left(1\right)\because EF垂直平分ADAD，
∴AF=DF\therefore AF=DF，
∴∠FAD=∠3\therefore \angle FAD=\angle 3，
∵∠3=∠B+∠1\because \angle 3=\angle B+\angle 1，∠2+∠4=∠FAD\angle 2+\angle 4=\angle FAD，
∴∠B=∠3−∠1\therefore \angle B=\angle 3-\angle 1，∠4=∠FAD−∠2\angle 4=\angle FAD-\angle 2，
∵AD\because AD是∠BAC\angle BAC的平分线，
∴∠1=∠2\therefore \angle 1=\angle 2，
∴∠B=∠4\therefore \angle B=\angle 4，
又∵∠BFA=∠AFC\because \angle BFA=\angle AFC，
∴△ABF\therefore \triangle ABF∽△CAF\triangle CAF；
(2)∵△ABF(2)\because \triangle ABF∽△CAF\triangle CAF，
∴FBFA=FAFC\therefore \frac{FB}{FA}=\frac{FA}{FC}，
∴FA2=FB⋅FC\therefore FA^{2}=FB\cdot FC，
∵EF\because EF垂直平分ADAD，
∴FA=FD\therefore FA=FD，
∴FD2=FC⋅FB\therefore FD^{2}=FC\cdot FB.

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