（1）①结论：等腰直角三角形是勾股高三角形.
理由：设等腰直角三角形的直角边长为$m$，
则斜边的长为$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}=\sqrt{2}m$，
$\because (\sqrt{2}m)^{2}-m^{2}=m^{2}$，等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
$\therefore$等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；

②由勾股定理可得：$CB^{2}=CD^{2}+BD^{2}=CD^{2}+4$，$CA^{2}=CD^{2}+AD^{2}=CD^{2}+1$，
$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=BC^{2}-AC^{2}$，
$\therefore CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)$，
解得，$CD=\sqrt{3}$；

$(2)$结论：$AD=CB$，
理由：$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点且$CA \gt CB$，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=CA^{2}-CB^{2}$，
$\therefore CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}$，
由勾股定理得，$CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
$\therefore CB^{2}=AD^{2}$，
$\therefore AD=CB$；

$(3)$过点$A$向$ED$引垂线，垂足为$G$，

$\because$“勾股高三角形”$\triangle ABC$为等腰三角形，且$AB=AC \gt BC$，
$\therefore$只能是$AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}$，由上问可知$AD=BC\ldots \ldots$①.
又$ED$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B\ldots \ldots$②.$\angle AED=\angle ACB$，
$\therefore AE=AD$，
而$\angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}\ldots \ldots$③，
$\therefore \triangle AGD$≌$\triangle CDB\left(AAS\right)$，
$\therefore DG=BD$.
$\because \triangle ADE$为等腰三角形，
$\therefore ED=2DG=2BD$.
又$AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore BD=EC=a$，
$\therefore ED=2a$.

（1）①结论：等腰直角三角形是勾股高三角形.
理由：设等腰直角三角形的直角边长为$m$，
则斜边的长为$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}=\sqrt{2}m$，
$\because (\sqrt{2}m)^{2}-m^{2}=m^{2}$，等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
$\therefore$等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；

②由勾股定理可得：$CB^{2}=CD^{2}+BD^{2}=CD^{2}+4$，$CA^{2}=CD^{2}+AD^{2}=CD^{2}+1$，
$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=BC^{2}-AC^{2}$，
$\therefore CD^{2}=(CD^{2}+4)-(CD^{2}+1)$，
解得，$CD=\sqrt{3}$；

$(2)$结论：$AD=CB$，
理由：$\because \triangle ABC$为勾股高三角形，$C$为勾股顶点且$CA \gt CB$，$CD$是$AB$边上的高，
$\therefore CD^{2}=CA^{2}-CB^{2}$，
$\therefore CA^{2}-CD^{2}=CB^{2}$，
由勾股定理得，$CA^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
$\therefore CB^{2}=AD^{2}$，
$\therefore AD=CB$；

$(3)$过点$A$向$ED$引垂线，垂足为$G$，

$\because$“勾股高三角形”$\triangle ABC$为等腰三角形，且$AB=AC \gt BC$，
$\therefore$只能是$AC^{2}-BC^{2}=CD^{2}$，由上问可知$AD=BC\ldots \ldots$①.
又$ED$∥$BC$，
$\therefore \angle ADE=\angle B\ldots \ldots$②.$\angle AED=\angle ACB$，
$\therefore AE=AD$，
而$\angle AGD=\angle CDB=90^{\circ}\ldots \ldots$③，
$\therefore \triangle AGD$≌$\triangle CDB\left(AAS\right)$，
$\therefore DG=BD$.
$\because \triangle ADE$为等腰三角形，
$\therefore ED=2DG=2BD$.
又$AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore BD=EC=a$，
$\therefore ED=2a$.