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八年级数学解答题一般
题目
在等腰△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,点DD是BCBC边上的一个动点（点DD不与点BB,CC重合）,连接ADAD,作等腰△ADE\triangle ADE,使AD=AEAD=AE,∠DAE=∠BAC\angle DAE=\angle BAC,点DD,EE在直线ACAC两旁,连接CECE.

(1)(1)如图11,当∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}时,直接写出BCBC与CECE的位置关系；
(2)(2)如图22,当0∘<∠BAC<90∘0^{\circ} \lt \angle BAC \lt 90^{\circ}时,过点AA作AF⊥CEAF\bot CE于点FF,请你在图22中补全图形,用等式表示线段BDBD,CDCD,2EF2EF之间的数量关系,并证明.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)BC⊥CE\left(1\right)BC\bot CE.理由如下：
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘=∠DAE\angle BAC=90^{\circ}=\angle DAE，
∴∠ABC=∠ACB=45∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=45^{\circ}，∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE=45∘\therefore \angle ABD=\angle ACE=45^{\circ}，
∴∠BCE=90∘\therefore \angle BCE=90^{\circ}，
∴BC⊥CE\therefore BC\bot CE；
(2)(2)如图，补全图形；

当BD⩽CDBD\leqslant CD时，CD−BD=2EFCD-BD=2EF，理由如下：延长EFEF到点GG，使FG=EFFG=EF.
由（1）可知：△ABD\triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴BD=CE\therefore BD=CE，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，∠∠ADB=∠AEC\angle \angle ADB=\angle AEC.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠B=∠ACB\therefore \angle B=\angle ACB，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∵AF⊥CE\because AF\bot CE，
∴AE=AG\therefore AE=AG，
∴∠AEG=∠G\therefore \angle AEG=\angle G，
∵∠ADB=∠AEC\because \angle ADB=\angle AEC，
∴∠ADC=∠AEG\therefore \angle ADC=\angle AEG，
∴∠ADC=∠G\therefore \angle ADC=\angle G，
在△ADC\triangle ADC和△AGC\triangle AGC中，
{∠ADC=∠G∠ACD=∠ACEAC=AC\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠G}\\{∠ACD=∠ACE}\\{AC=AC}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△AGC(AAS)\triangle AGC\left(AAS\right)，
∴CD=CG\therefore CD=CG，
∵CG−CE=2EF\because CG-CE=2EF，
∴CD−BD=2EF\therefore CD-BD=2EF，
如图，当BD>CDBD \gt CD时，同理可证BD−CD=2EFBD-CD=2EF.

(1)(1)由“SASSAS”可证△ABD\triangle ABD≌△ACE,\triangle ACE,可得∠ABD=∠ACE=45∘\angle ABD=\angle ACE=45^{\circ}，可得结论；
(2)(2)分两种情况讨论，由（1）可知BD=CEBD=CE，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，∠∠ADB=∠AEC\angle \angle ADB=\angle AEC，由“AASAAS”可证△ADC\triangle ADC≌△AGC\triangle AGC，可得CD=CGCD=CG，即可求解.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

解析

(1)BC⊥CE\left(1\right)BC\bot CE.理由如下：
∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘=∠DAE\angle BAC=90^{\circ}=\angle DAE，
∴∠ABC=∠ACB=45∘\therefore \angle ABC=\angle ACB=45^{\circ}，∠BAD=∠CAE\angle BAD=\angle CAE，
在△ABD\triangle ABD和△ACE\triangle ACE中，
{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.，
∴△ABD\therefore \triangle ABD≌△ACE(SAS)\triangle ACE\left(SAS\right)，
∴∠ABD=∠ACE=45∘\therefore \angle ABD=\angle ACE=45^{\circ}，
∴∠BCE=90∘\therefore \angle BCE=90^{\circ}，
∴BC⊥CE\therefore BC\bot CE；
(2)(2)如图，补全图形；

当BD⩽CDBD\leqslant CD时，CD−BD=2EFCD-BD=2EF，理由如下：延长EFEF到点GG，使FG=EFFG=EF.
由（1）可知：△ABD\triangle ABD≌△ACE\triangle ACE，
∴BD=CE\therefore BD=CE，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，∠∠ADB=∠AEC\angle \angle ADB=\angle AEC.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠B=∠ACB\therefore \angle B=\angle ACB，
∴∠ACB=∠ACE\therefore \angle ACB=\angle ACE，
∵AF⊥CE\because AF\bot CE，
∴AE=AG\therefore AE=AG，
∴∠AEG=∠G\therefore \angle AEG=\angle G，
∵∠ADB=∠AEC\because \angle ADB=\angle AEC，
∴∠ADC=∠AEG\therefore \angle ADC=\angle AEG，
∴∠ADC=∠G\therefore \angle ADC=\angle G，
在△ADC\triangle ADC和△AGC\triangle AGC中，
{∠ADC=∠G∠ACD=∠ACEAC=AC\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠G}\\{∠ACD=∠ACE}\\{AC=AC}\end{array}\right.，
∴△ADC\therefore \triangle ADC≌△AGC(AAS)\triangle AGC\left(AAS\right)，
∴CD=CG\therefore CD=CG，
∵CG−CE=2EF\because CG-CE=2EF，
∴CD−BD=2EF\therefore CD-BD=2EF，
如图，当BD>CDBD \gt CD时，同理可证BD−CD=2EFBD-CD=2EF.

(1)(1)由“SASSAS”可证△ABD\triangle ABD≌△ACE,\triangle ACE,可得∠ABD=∠ACE=45∘\angle ABD=\angle ACE=45^{\circ}，可得结论；
(2)(2)分两种情况讨论，由（1）可知BD=CEBD=CE，∠B=∠ACE\angle B=\angle ACE，∠∠ADB=∠AEC\angle \angle ADB=\angle AEC，由“AASAAS”可证△ADC\triangle ADC≌△AGC\triangle AGC，可得CD=CGCD=CG，即可求解.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

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