$\left(1\right)\because BC\bot AC$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AC=\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
$\because AP=m$，
$\therefore CP=3-m$.
$\because$点$P$，$Q$关于直线$BC$对称，
$\therefore CQ=CP$，
$\therefore PQ=2CP=2\left(3-m\right)=6-2m$；
$(2)\because AP=PD$，
$\therefore \angle A=\angle ADP$，
$\because QD\bot AD$，
$\therefore \angle ADQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A+\angle AQD=90^{\circ}$，$\angle ADP+\angle PDQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PDQ=\angle AQD$，
$\therefore DP=PQ$，
$\therefore PQ=AP$.
$\therefore 6-2m=m$，
解得：$m=2$，
$\therefore CP=3-m=1$；
$(3)$分两种情况：
①当点$P$在线段$AC$上时，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle AQD=30^{\circ}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=2.5$.
$\because CP=CQ=2.5-m$，
$\therefore S_{\triangle PCE}=S_{\triangle ECQ}$，
即$S_{\triangle PEQ}=2S_{\triangle PCE}$.
$\because S_{\triangle PDE}=2S_{\triangle PCE}$，
$\therefore S_{\triangle PDE}=S_{\triangle PEQ}$.
$\therefore DE=EQ$，即$E$是$DQ$的中点，
$\because PE=EQ$，$PE=DE$，
$\therefore \angle DPQ=90^{\circ}$.
$\therefore \angle APD=90^{\circ}$，$\angle ADP=30^{\circ}$.
$\therefore AD=2AP=2m$，$AQ=2AD=4m$，
$\because AQ=m+2\left(2.5-m\right)=5-m$，
$\therefore 4m=5-m$，
解得：$m=1$；
②当点$P$在线段$AC$的延长线上时，

$\because CP=CQ$，
$\therefore S_{\triangle PEC}=S_{\triangle ECQ}$，
$\because S_{\triangle PDE}=2S_{\triangle PEC}$，
$\therefore S_{\triangle PDE}=S_{\triangle PEQ}$，
$\therefore DE=QE$，
$\therefore$点$A$，$D$，$Q$重合，
$\therefore AP=2AC=5$，
$\therefore m=5$；
综上所述，$m$的值是$1$或$5$.

$\left(1\right)\because BC\bot AC$，
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AC=\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
$\because AP=m$，
$\therefore CP=3-m$.
$\because$点$P$，$Q$关于直线$BC$对称，
$\therefore CQ=CP$，
$\therefore PQ=2CP=2\left(3-m\right)=6-2m$；
$(2)\because AP=PD$，
$\therefore \angle A=\angle ADP$，
$\because QD\bot AD$，
$\therefore \angle ADQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A+\angle AQD=90^{\circ}$，$\angle ADP+\angle PDQ=90^{\circ}$，
$\therefore \angle PDQ=\angle AQD$，
$\therefore DP=PQ$，
$\therefore PQ=AP$.
$\therefore 6-2m=m$，
解得：$m=2$，
$\therefore CP=3-m=1$；
$(3)$分两种情况：
①当点$P$在线段$AC$上时，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle AQD=30^{\circ}$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=2.5$.
$\because CP=CQ=2.5-m$，
$\therefore S_{\triangle PCE}=S_{\triangle ECQ}$，
即$S_{\triangle PEQ}=2S_{\triangle PCE}$.
$\because S_{\triangle PDE}=2S_{\triangle PCE}$，
$\therefore S_{\triangle PDE}=S_{\triangle PEQ}$.
$\therefore DE=EQ$，即$E$是$DQ$的中点，
$\because PE=EQ$，$PE=DE$，
$\therefore \angle DPQ=90^{\circ}$.
$\therefore \angle APD=90^{\circ}$，$\angle ADP=30^{\circ}$.
$\therefore AD=2AP=2m$，$AQ=2AD=4m$，
$\because AQ=m+2\left(2.5-m\right)=5-m$，
$\therefore 4m=5-m$，
解得：$m=1$；
②当点$P$在线段$AC$的延长线上时，

$\because CP=CQ$，
$\therefore S_{\triangle PEC}=S_{\triangle ECQ}$，
$\because S_{\triangle PDE}=2S_{\triangle PEC}$，
$\therefore S_{\triangle PDE}=S_{\triangle PEQ}$，
$\therefore DE=QE$，
$\therefore$点$A$，$D$，$Q$重合，
$\therefore AP=2AC=5$，
$\therefore m=5$；
综上所述，$m$的值是$1$或$5$.