如图,$B$为$\angle A$边上一点,$AB=5$,$BC\bot AC$,$P$为射线$AC$上一点,点$Q$,$P$关于直线$BC$对称,$QD\bot AB$于点$D$,直线$DQ$,$BC$交于点$E$,连结$DP$,设$AP=m$.
$(1)$当点$P$在线段$AC$上时,若$BC=4$,求用含$m$的代数式表示$PQ$的长；
$(2)$在（1）的条件下时,若$AP=PD$,求$CP$的长；
$(3)$连结$PE$,若$\angle A=60^{\circ}$,$\triangle PCE$与$\triangle PDE$的面积之比为$1:2$,求$m$的值.