$\left(1\right)|7-\left(-3\right)|=10$，$|x+2|=5$，则$x=3$或$-7$，
故答案为：$10$；$3$或$-7$；
$(2)\because |x+1|+|x-2|=3$的意义为数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$，和表示数$2$的点的距离之和为$3$，
又$\because$数轴上表示数$-1$，与表示数$2$的点距离之和为$|2-\left(-1\right)|=3$，
$\therefore -1\leqslant x\leqslant 2$，
又$\because x$为整数，
$\therefore x$可能为$-1$，$0$，$1$，$2$，
故答案为：$-1$，$0$，$1$，$2$；
$(3)$：有最小值.最小值为$9$，
理由是：$|x-3|+|x+6|$可以理解为：在数轴上表示$x$到$3$和$-6$的距离之和，
$\therefore$当$x$在$3$与$-6$之间的线段上（即$-6\leqslant x\leqslant 3)$时：
即$|x-3|+|x+6|$的值有最小值，最小值为$3-\left(-6\right)=9$.

$\left(1\right)|7-\left(-3\right)|=10$，$|x+2|=5$，则$x=3$或$-7$，
故答案为：$10$；$3$或$-7$；
$(2)\because |x+1|+|x-2|=3$的意义为数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$，和表示数$2$的点的距离之和为$3$，
又$\because$数轴上表示数$-1$，与表示数$2$的点距离之和为$|2-\left(-1\right)|=3$，
$\therefore -1\leqslant x\leqslant 2$，
又$\because x$为整数，
$\therefore x$可能为$-1$，$0$，$1$，$2$，
故答案为：$-1$，$0$，$1$，$2$；
$(3)$：有最小值.最小值为$9$，
理由是：$|x-3|+|x+6|$可以理解为：在数轴上表示$x$到$3$和$-6$的距离之和，
$\therefore$当$x$在$3$与$-6$之间的线段上（即$-6\leqslant x\leqslant 3)$时：
即$|x-3|+|x+6|$的值有最小值，最小值为$3-\left(-6\right)=9$.