$\left(1\right)\because \sqrt[3]{5a+2}=3，\sqrt{3a+b}=4$，
$\therefore 5a+2=3^{3}=27$，$3a+b=4^{2}=16$，
联立方程组，得$\left\{\begin{array}{l}5a+2=27\\ 3a+b=16\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=1\end{array}\right.$，
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\because c$是$\sqrt{11}$的整数部分，
$\therefore c=3$，
$\therefore a+b+c=5+1+3=9$，
$\therefore a+b+c$的平方根为$±\sqrt{9}=±3$；
$(2)2(m{x}^{2}-x-\frac{7}{2})+4{x}^{2}+3nx$
$=2mx^{2}-2x-7+4x^{2}+3nx$
$=\left(2m+4\right)x^{2}+\left(3n-2\right)x-7$
$\because$多项式$2(m{x}^{2}-x-\frac{7}{2})+4{x}^{2}+3nx$的值与$x$的取值无关，
$\therefore 2m+4=0$，$3n-2=0$，
解得：$m=-2，n=\frac{2}{3}$，
$3(2m^{2}-3mn-5m-1)+6(-m^{2}+mn-1)$
$=6m^{2}-9mn-15m-3-6m^{2}+6mn-6$
$=-3mn-15m-9$
当$m=-2，n=\frac{2}{3}$时，原式$=-3×(-2)×\frac{2}{3}-15×(-2)-9=25$.

$\left(1\right)\because \sqrt[3]{5a+2}=3，\sqrt{3a+b}=4$，
$\therefore 5a+2=3^{3}=27$，$3a+b=4^{2}=16$，
联立方程组，得$\left\{\begin{array}{l}5a+2=27\\ 3a+b=16\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=1\end{array}\right.$，
$\because 3＜\sqrt{11}＜4$，
$\because c$是$\sqrt{11}$的整数部分，
$\therefore c=3$，
$\therefore a+b+c=5+1+3=9$，
$\therefore a+b+c$的平方根为$±\sqrt{9}=±3$；
$(2)2(m{x}^{2}-x-\frac{7}{2})+4{x}^{2}+3nx$
$=2mx^{2}-2x-7+4x^{2}+3nx$
$=\left(2m+4\right)x^{2}+\left(3n-2\right)x-7$
$\because$多项式$2(m{x}^{2}-x-\frac{7}{2})+4{x}^{2}+3nx$的值与$x$的取值无关，
$\therefore 2m+4=0$，$3n-2=0$，
解得：$m=-2，n=\frac{2}{3}$，
$3(2m^{2}-3mn-5m-1)+6(-m^{2}+mn-1)$
$=6m^{2}-9mn-15m-3-6m^{2}+6mn-6$
$=-3mn-15m-9$
当$m=-2，n=\frac{2}{3}$时，原式$=-3×(-2)×\frac{2}{3}-15×(-2)-9=25$.