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八年级数学填空题一般
题目
如图,直角三角形ABCABC与直角三角形BDEBDE中,点BB,CC,DD在同一条直线上,已知AC=AE=CDAC=AE=CD,∠BAC\angle BAC和∠ACB\angle ACB的角平分线交于点FF,连DFDF,EFEF,分别交ABAB、BCBC于MM、NN,已知点FF到△ABC\triangle ABC三边距离为33,则△BMN\triangle BMN的周长为______.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

作FJ⊥BCFJ\bot BC于NN，FH⊥ABFH\bot AB于HH，在HAHA上截取HK=JNHK=JN，连接FKFK.

∵\because点FF是△ABC\triangle ABC的内心，FH⊥ABFH\bot AB，FJ⊥BCFJ\bot BC，
∴FH=FJ\therefore FH=FJ，
∵∠FHB=∠FJB=∠HBJ=90∘\because \angle FHB=\angle FJB=\angle HBJ=90^{\circ}，
∴\therefore四边形FHBJFHBJ是矩形，∵FH=FJ\because FH=FJ，
∴\therefore四边形FHBJFHBJ是正方形，
∵∠AFC=180∘−12(∠BAC+∠ACB),∠BAC+∠ACB=90∘\because \angle AFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB),\angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠AFC=135∘\therefore \angle AFC=135^{\circ}，
∵AC=AE\because AC=AE，∠FAC=∠FAB\angle FAC=\angle FAB，AF=AFAF=AF，
∴△AFC\therefore \triangle AFC≌△AFE(SAS)\triangle AFE\left(SAS\right)，
∴∠AFC=∠AFE=135∘\therefore \angle AFC=\angle AFE=135^{\circ}，
∴∠EFC=90∘\therefore \angle EFC=90^{\circ}，
同法可证△ACF\triangle ACF≌△DCF(SAS)\triangle DCF\left(SAS\right)，
∴∠AFC=∠DFC=135∘\therefore \angle AFC=\angle DFC=135^{\circ}，
∴∠AFD=90∘\therefore \angle AFD=90^{\circ}，
∴∠MFN=360∘−90∘−135∘−90∘=45∘\therefore \angle MFN=360^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}，
∵HK=JN\because HK=JN，∠FJK=∠FJN\angle FJK=\angle FJN，FH=FJFH=FJ，
∴△FHK\therefore \triangle FHK≌△FJN(SAS)\triangle FJN\left(SAS\right)，
∴FK=FN\therefore FK=FN，∠JFN=∠HFK\angle JFN=\angle HFK，
∵∠KFN=∠KFH+∠HFM=∠HFM+∠JFN=45∘\because \angle KFN=\angle KFH+\angle HFM=\angle HFM+\angle JFN=45^{\circ}，
∴∠MFK=∠MFN\therefore \angle MFK=\angle MFN，
∵FM=FM\because FM=FM，FK=FNFK=FN，
∴△MFK\therefore \triangle MFK≌△MFN(SAS)\triangle MFN\left(SAS\right)，
∴MN=MK\therefore MN=MK，
∴MN=MH+HK=MH+JN\therefore MN=MH+HK=MH+JN，
∴△BMN\therefore \triangle BMN的周长=BM+MN+BN=BN+NJ+BM+MH=2BJ=6=BM+MN+BN=BN+NJ+BM+MH=2BJ=6.

解析

作FJ⊥BCFJ\bot BC于NN，FH⊥ABFH\bot AB于HH，在HAHA上截取HK=JNHK=JN，连接FKFK.

∵\because点FF是△ABC\triangle ABC的内心，FH⊥ABFH\bot AB，FJ⊥BCFJ\bot BC，
∴FH=FJ\therefore FH=FJ，
∵∠FHB=∠FJB=∠HBJ=90∘\because \angle FHB=\angle FJB=\angle HBJ=90^{\circ}，
∴\therefore四边形FHBJFHBJ是矩形，∵FH=FJ\because FH=FJ，
∴\therefore四边形FHBJFHBJ是正方形，
∵∠AFC=180∘−12(∠BAC+∠ACB),∠BAC+∠ACB=90∘\because \angle AFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB),\angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠AFC=135∘\therefore \angle AFC=135^{\circ}，
∵AC=AE\because AC=AE，∠FAC=∠FAB\angle FAC=\angle FAB，AF=AFAF=AF，
∴△AFC\therefore \triangle AFC≌△AFE(SAS)\triangle AFE\left(SAS\right)，
∴∠AFC=∠AFE=135∘\therefore \angle AFC=\angle AFE=135^{\circ}，
∴∠EFC=90∘\therefore \angle EFC=90^{\circ}，
同法可证△ACF\triangle ACF≌△DCF(SAS)\triangle DCF\left(SAS\right)，
∴∠AFC=∠DFC=135∘\therefore \angle AFC=\angle DFC=135^{\circ}，
∴∠AFD=90∘\therefore \angle AFD=90^{\circ}，
∴∠MFN=360∘−90∘−135∘−90∘=45∘\therefore \angle MFN=360^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}，
∵HK=JN\because HK=JN，∠FJK=∠FJN\angle FJK=\angle FJN，FH=FJFH=FJ，
∴△FHK\therefore \triangle FHK≌△FJN(SAS)\triangle FJN\left(SAS\right)，
∴FK=FN\therefore FK=FN，∠JFN=∠HFK\angle JFN=\angle HFK，
∵∠KFN=∠KFH+∠HFM=∠HFM+∠JFN=45∘\because \angle KFN=\angle KFH+\angle HFM=\angle HFM+\angle JFN=45^{\circ}，
∴∠MFK=∠MFN\therefore \angle MFK=\angle MFN，
∵FM=FM\because FM=FM，FK=FNFK=FN，
∴△MFK\therefore \triangle MFK≌△MFN(SAS)\triangle MFN\left(SAS\right)，
∴MN=MK\therefore MN=MK，
∴MN=MH+HK=MH+JN\therefore MN=MH+HK=MH+JN，
∴△BMN\therefore \triangle BMN的周长=BM+MN+BN=BN+NJ+BM+MH=2BJ=6=BM+MN+BN=BN+NJ+BM+MH=2BJ=6.

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