C

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC=\angle ACB=60^{\circ}$，$AC=BC$，
$\because CE=\frac{1}{2}BC$，$F$是$AC$的中点，
$\therefore CF=CE$，
$\therefore \angle E=\angle CFE$，
$\because \angle ACB=\angle E+\angle CFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=30^{\circ}$，
$\therefore \angle BGE=90^{\circ}$，
$\therefore EG\bot AB$，故⑤正确；
设$AG=x$，则$AF=FC=CE=2x$，
$\therefore FG=\sqrt{3}x$，$BE=6x$，
$Rt\triangle BGE$中，$BG=3x$，$EG=3\sqrt{3}x$，
$\therefore EF=EG-FG-3\sqrt{3}x-\sqrt{3}x=2\sqrt{3}x$，
$\therefore GF=\frac{1}{2}EF$，故②正确；
③如图，过$N$作$NH\bot AC$于$H$，连接$BN$，

在等边三角形$ABC$中，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore AD$平分$\angle BAC$，$BN=CN$，
$\because MN\bot AB$，
$\therefore NH=NM$，
$\because MN$是$BG$的垂直平分线，
$\therefore BN=NG$，
$\therefore BN=CN=NG$，
在$Rt\triangle NGM$和$Rt\triangle NCH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=NH}\\{GN=NC}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle NGM$≌$Rt\triangle NCH\left(HL\right)$，
$\therefore \angle GNM=\angle CNH$，
$\therefore \angle MNH=\angle CNG$，
$\because \angle ANM=\angle ANH=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CNG=120^{\circ}$，故③正确；
$\because MN$是$BG$的垂直平分线，
$\therefore BN=GN$，
等边$\triangle ABC$中，$AD\bot BC$，
$\therefore BN=CN$，
$\therefore GN=CN$，故④错误；
$\because BN=CN=NG$，
$\therefore \angle DCN=\angle DBN$，$\angle NBM=\angle NGM$，
$\because \angle ACN=\angle ACB-\angle DCN=60^{\circ}-\angle DBN=\angle ABN=\angle NGM$，
$\because \angle ABC=\angle ACB$，
$\therefore \angle ACN=\angle BGN$，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共$4$个，
故选：$C$.