A

$A$、$\because$从数轴可知：$-2 \lt a \lt -1$，
$\therefore 1 \lt |a| \lt 2$，
$\therefore 0 \lt |a|-1 \lt 1$，故本选项符合题意；
$B$、$\because$从数轴可知：$-2 \lt a \lt -1$，
$\therefore |a| \gt 1$，故本选项不符合题意；
$C$、$\because$从数轴可知：$-2 \lt a \lt -1$，
$\therefore -a \gt 1$，故本选项不符合题意；
$D$、$\because$从数轴可知：$-2 \lt a \lt -1$，
$\therefore -1 \lt a+1 \lt 0$，故本选项不符合题意；
故选：$A$.