B

$\because \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=p$，
$\therefore a+b=cp$，$b+c=ap$，$c+a=bp$，
$\therefore a+b+b+c+c+a=cp+ap+bp$，
$\therefore 2\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)p$，
$\therefore p=2$或$a+b+c=0$.
当$p=2$时，$y=2x+x$，
$\therefore$函数$y=2x+2$的图象经过第一、二、三象限；
当$a+b+c=0$时，不妨取$a+b=-c$，
则$p=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1(c\neq 0)$，
$\therefore y=-x-1$，
$\therefore$函数$y=-x-1$的图象经过第二、三、四象限，
综上所述，函数$y=px+p$一定经过第二、三象限.
故选：$B$.