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八年级数学填空题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC是等边三角形,将按如图的方式进行折叠,使点BB与ACAC边上的点FF重合,折痕分别与ABAB、BCBC交于点DD、EE,下列四个结论:①∠FDE+∠FED=120∘\angle FDE+\angle FED=120^{\circ}；②∠ADF+∠CEF=2∠A\angle ADF+\angle CEF=2\angle A；③AD=ECAD=EC；④若AF=1AF=1,FC=3FC=3,OO是折痕DEDE上一动点,则OF+OCOF+OC的最小值是44,其中正确的有______.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

在等边△ABC\triangle ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60∘\angle A=\angle B=\angle ACB=60^{\circ}，AB=BC=ACAB=BC=AC，
根据折叠，可知∠DFE=∠B=60∘\angle DFE=\angle B=60^{\circ}，
∴∠FDE+∠FED=180∘−∠DFE=180∘−60∘=120∘\therefore \angle FDE+\angle FED=180^{\circ}-\angle DFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
故①选项符合题意；
∵∠DFE=60∘\because \angle DFE=60^{\circ}，
∴∠AFD+∠CFE=180∘−60∘=120∘\therefore \angle AFD+\angle CFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∵∠ADF=180∘−∠A−∠AFD\because \angle ADF=180^{\circ}-\angle A-\angle AFD，∠CEF=180∘−∠CFE−∠FCE\angle CEF=180^{\circ}-\angle CFE-\angle FCE，
∴∠ADF+∠CEF=360∘−∠A−∠FCE−(∠AFD+∠CFE)=120∘=2∠A\therefore \angle ADF+\angle CEF=360^{\circ}-\angle A-\angle FCE-\left(\angle AFD+\angle CFE\right)=120^{\circ}=2\angle A，
故②选项符合题意；
∵AB=BC\because AB=BC，BDBD不一定等于BEBE，
∴AD\therefore AD不一定等于ECEC，
故③选项不符合题意；
∵AF=1\because AF=1，FC=3FC=3，
∴AC=1+3=4\therefore AC=1+3=4，
∴BC=AC=4\therefore BC=AC=4，
根据轴对称的性质，可知OF+OCOF+OC的最小值即为BCBC的长，
∴OF+OC\therefore OF+OC的最小值是44，
故④选项符合题意，
综上所述，正确的选项有①②④，
故答案为：①②④.

解析

在等边△ABC\triangle ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60∘\angle A=\angle B=\angle ACB=60^{\circ}，AB=BC=ACAB=BC=AC，
根据折叠，可知∠DFE=∠B=60∘\angle DFE=\angle B=60^{\circ}，
∴∠FDE+∠FED=180∘−∠DFE=180∘−60∘=120∘\therefore \angle FDE+\angle FED=180^{\circ}-\angle DFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
故①选项符合题意；
∵∠DFE=60∘\because \angle DFE=60^{\circ}，
∴∠AFD+∠CFE=180∘−60∘=120∘\therefore \angle AFD+\angle CFE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}，
∵∠ADF=180∘−∠A−∠AFD\because \angle ADF=180^{\circ}-\angle A-\angle AFD，∠CEF=180∘−∠CFE−∠FCE\angle CEF=180^{\circ}-\angle CFE-\angle FCE，
∴∠ADF+∠CEF=360∘−∠A−∠FCE−(∠AFD+∠CFE)=120∘=2∠A\therefore \angle ADF+\angle CEF=360^{\circ}-\angle A-\angle FCE-\left(\angle AFD+\angle CFE\right)=120^{\circ}=2\angle A，
故②选项符合题意；
∵AB=BC\because AB=BC，BDBD不一定等于BEBE，
∴AD\therefore AD不一定等于ECEC，
故③选项不符合题意；
∵AF=1\because AF=1，FC=3FC=3，
∴AC=1+3=4\therefore AC=1+3=4，
∴BC=AC=4\therefore BC=AC=4，
根据轴对称的性质，可知OF+OCOF+OC的最小值即为BCBC的长，
∴OF+OC\therefore OF+OC的最小值是44，
故④选项符合题意，
综上所述，正确的选项有①②④，
故答案为：①②④.

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