证明：（1）如图$1$中，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD+\angle CAE=90^{\circ}$，$\angle EDA+\angle F=90^{\circ}$，
$\because \angle EAD=\angle EDA$，
$\therefore \angle EAC=\angle F$，
$\therefore EA=ED$，$EA=EF$，
$\therefore DE=EF$.
$(2)$结论：$BD=CF$.
理由：如图$2$中，在$BE$上取一点$M$，使得$ME=CE$，连接$DM$.

$\because DE=EF.\angle DEM=\angle CEF$，$EM=EC$.
$\therefore \triangle DEM$≌$\triangle FEC\left(SAS\right)$，
$\therefore DM=CF$，$\angle MDE=\angle F$，
$\therefore DM$∥$CF$，
$\therefore \angle BDM=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle DBM=45^{\circ}$，
$\therefore BD=DM$，
$\therefore BD=CF$.

证明：（1）如图$1$中，

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD+\angle CAE=90^{\circ}$，$\angle EDA+\angle F=90^{\circ}$，
$\because \angle EAD=\angle EDA$，
$\therefore \angle EAC=\angle F$，
$\therefore EA=ED$，$EA=EF$，
$\therefore DE=EF$.
$(2)$结论：$BD=CF$.
理由：如图$2$中，在$BE$上取一点$M$，使得$ME=CE$，连接$DM$.

$\because DE=EF.\angle DEM=\angle CEF$，$EM=EC$.
$\therefore \triangle DEM$≌$\triangle FEC\left(SAS\right)$，
$\therefore DM=CF$，$\angle MDE=\angle F$，
$\therefore DM$∥$CF$，
$\therefore \angle BDM=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle DBM=45^{\circ}$，
$\therefore BD=DM$，
$\therefore BD=CF$.