B

$\because$四边形$AMEF$是正方形，
又$\because S_{正方形AMEF}=16$，
$\therefore AM^{2}=16$，
$\therefore AM=4$，
在$Rt\triangle ABC$中，点$M$是斜边$BC$的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}BC$，
即$BC=2AM=8$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=4$，
$\therefore AC=\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，
故选：$B$.