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八年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠C=90∘\angle C=90^{\circ},DD为边ABAB的中点,EE,FF分别为边ACAC,BCBC上的点,且AE=ADAE=AD,BF=BDBF=BD,连接EFEF.
(1)∠EDF=(1)\angle EDF=______；
(2)(2)若DE=EF=2DE=EF=\sqrt{2},则线段ABAB的长为______.
知识点：三角形、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵∠C=90∘\left(1\right)\because \angle C=90^{\circ}，
∴∠A+∠B=90∘\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}，
∵AD=AE\because AD=AE，BD=BFBD=BF，
∴∠ADE=∠AED\therefore \angle ADE=\angle AED，∠BDF=∠BFD\angle BDF=\angle BFD，
∴∠ADE+∠BDF=360°−(∠A+∠B)2=135°\therefore ∠ADE+∠BDF=\frac{360°-(∠A+∠B)}{2}=135°，
∴∠EDF=180∘−(∠ADE+∠BDF)=45∘\therefore \angle EDF=180^{\circ}-\left(\angle ADE+\angle BDF\right)=45^{\circ}；
(2)(2)如图，延长EDED至点GG，使DG=DEDG=DE，连接BGBG，FGFG，

∵D\because D为ABAB的中点，
∴AD=BD\therefore AD=BD，
∵∠ADE=∠BDG\because \angle ADE=\angle BDG，DE=DGDE=DG，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△BDG(SAS)\triangle BDG\left(SAS\right)，
∴∠A=∠DBG\therefore \angle A=\angle DBG，AE=BGAE=BG，
又AE=ADAE=AD，BF=BDBF=BD，
∴BF=BD=AD=AE=BG\therefore BF=BD=AD=AE=BG，
∵∠A+∠CBA=90∘\because \angle A+\angle CBA=90^{\circ}，
∴∠DBG+∠CBA=90∘\therefore \angle DBG+\angle CBA=90^{\circ}，
∴∠FBG=90∘\therefore \angle FBG=90^{\circ}，
∵DE=EF=2\because DE=EF=\sqrt{2}，∠EDF=45∘\angle EDF=45^{\circ}，
∴∠EFD=45∘\therefore \angle EFD=45^{\circ}，GE=22GE=2\sqrt{2}，
∴∠FED=90∘\therefore \angle FED=90^{\circ}，
∴FG2=EF2+GE2=10\therefore FG^{2}=EF^{2}+GE^{2}=10，
∴BF2+BG2=FG2=10\therefore BF^{2}+BG^{2}=FG^{2}=10，
∴BF2=BG2=5\therefore BF^{2}=BG^{2}=5，
∴BF=BG=5\therefore BF=BG=\sqrt{5}，
∴AB=2BD=2BF=25\therefore AB=2BD=2BF=2\sqrt{5}.

解析

(1)∵∠C=90∘\left(1\right)\because \angle C=90^{\circ}，
∴∠A+∠B=90∘\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}，
∵AD=AE\because AD=AE，BD=BFBD=BF，
∴∠ADE=∠AED\therefore \angle ADE=\angle AED，∠BDF=∠BFD\angle BDF=\angle BFD，
∴∠ADE+∠BDF=360°−(∠A+∠B)2=135°\therefore ∠ADE+∠BDF=\frac{360°-(∠A+∠B)}{2}=135°，
∴∠EDF=180∘−(∠ADE+∠BDF)=45∘\therefore \angle EDF=180^{\circ}-\left(\angle ADE+\angle BDF\right)=45^{\circ}；
(2)(2)如图，延长EDED至点GG，使DG=DEDG=DE，连接BGBG，FGFG，

∵D\because D为ABAB的中点，
∴AD=BD\therefore AD=BD，
∵∠ADE=∠BDG\because \angle ADE=\angle BDG，DE=DGDE=DG，
∴△ADE\therefore \triangle ADE≌△BDG(SAS)\triangle BDG\left(SAS\right)，
∴∠A=∠DBG\therefore \angle A=\angle DBG，AE=BGAE=BG，
又AE=ADAE=AD，BF=BDBF=BD，
∴BF=BD=AD=AE=BG\therefore BF=BD=AD=AE=BG，
∵∠A+∠CBA=90∘\because \angle A+\angle CBA=90^{\circ}，
∴∠DBG+∠CBA=90∘\therefore \angle DBG+\angle CBA=90^{\circ}，
∴∠FBG=90∘\therefore \angle FBG=90^{\circ}，
∵DE=EF=2\because DE=EF=\sqrt{2}，∠EDF=45∘\angle EDF=45^{\circ}，
∴∠EFD=45∘\therefore \angle EFD=45^{\circ}，GE=22GE=2\sqrt{2}，
∴∠FED=90∘\therefore \angle FED=90^{\circ}，
∴FG2=EF2+GE2=10\therefore FG^{2}=EF^{2}+GE^{2}=10，
∴BF2+BG2=FG2=10\therefore BF^{2}+BG^{2}=FG^{2}=10，
∴BF2=BG2=5\therefore BF^{2}=BG^{2}=5，
∴BF=BG=5\therefore BF=BG=\sqrt{5}，
∴AB=2BD=2BF=25\therefore AB=2BD=2BF=2\sqrt{5}.

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