A

如图，连接$AP$，$CP$，$BP$，

$\because$点$D$，$E$，$F$分别是点$P$关于直线$AC$，$AB$，$BC$的对称点，
$\therefore AC$，$AB$，$BC$分别为$PD$，$PE$，$PF$的垂直平分线，
$\therefore AD=AP$，$AE=AP$，
$\therefore AE=AD$，故①正确；
$\because AC$，$AB$分别为$PD$，$PE$的垂直平分线，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AMPN$为矩形，
$\therefore \angle DPE=90^{\circ}$，故②正确；
$\because AC$为$PD$的垂直平分线，
$\therefore AD=AP$，$CD=CP$，
$\therefore \angle ADP=\angle APD$，$\angle CDP=\angle CPD$，
$\therefore \angle ADC=\angle APC$，
同理得$\angle BFC=\angle BPC$，$\angle BEA=\angle APB$，
$\because \angle APC+\angle BPC+\angle APB=360^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC+\angle BFC+\angle BEA=360^{\circ}$，故③错误；
故选：$A$.