（1）图中由$2$对“勾股三角形”，分别是$\triangle ADG$和$\triangle BCG$，$\triangle CDH$和$\triangle CGH$，理由如下：
$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}$，$AD=BC$，
在$Rt\triangle ADG$中，由勾股定理得：$AD^{2}=DG^{2}-AG^{2}$，
在$Rt\triangle BCG$中，由勾股定理得：$BC^{2}=CG^{2-}BG^{2}$，
$\because AD=BC$，即$AD^{2}=BC^{2}$，
$\therefore DG^{2}-AG^{2}=CG^{2}-BG^{2}$，
根据“勾股三角形”的定义得：$\triangle ADG$和$\triangle BCG$是一对“勾股三角形”；
$\because CH\bot DG$于点$H$，
$\therefore$在$Rt\triangle CDH$中，由勾股定理得：$CH^{2}=CD^{2}-DH^{2}$，
在$Rt\triangle CGH$中，由勾股定理得：$CH^{2}=CG^{2}-GH^{2}$，
$\therefore CD^{2}-DH^{2}=CG^{2}-GH^{2}$，
根据“勾股三角形”的定义得：$\triangle CDH$和$\triangle CGH$是一对“勾股三角形”；
故答案为：$2$.
$(2)$连接$DE$，如图所示：

$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}$，$AD=CB=AB=4$，
在$Rt\triangle BCG$中，$CB=4$，$CG=5$，
由勾股定理得：$BG=\sqrt{C{G}^{2}-C{B}^{2}}=3$，
$\therefore AG=AB-BG=4-3=1$，
在$Rt\triangle ADG$中，由勾股定理得：$DG=\sqrt{A{D}^{2}+A{G}^{2}}=\sqrt{17}$，
设$DE=x$，
$\because$四边形$CGFE$为矩形，
$\therefore EF=CG=5$，$CE=GF$，
$\because DF=EF-DE=5-x$，
$\because Rt\triangle CDE$和$Rt\triangle GDF$是一对“勾股三角形”；
即$CD^{2}-DE^{2}=GD^{2}-DF^{2}$，
$\therefore 4^{2}-x^{2}=17-\left(5-x\right)^{2}$，
解得：$x=2.4$.
故$DE=x=2.4$.

（1）图中由$2$对“勾股三角形”，分别是$\triangle ADG$和$\triangle BCG$，$\triangle CDH$和$\triangle CGH$，理由如下：
$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}$，$AD=BC$，
在$Rt\triangle ADG$中，由勾股定理得：$AD^{2}=DG^{2}-AG^{2}$，
在$Rt\triangle BCG$中，由勾股定理得：$BC^{2}=CG^{2-}BG^{2}$，
$\because AD=BC$，即$AD^{2}=BC^{2}$，
$\therefore DG^{2}-AG^{2}=CG^{2}-BG^{2}$，
根据“勾股三角形”的定义得：$\triangle ADG$和$\triangle BCG$是一对“勾股三角形”；
$\because CH\bot DG$于点$H$，
$\therefore$在$Rt\triangle CDH$中，由勾股定理得：$CH^{2}=CD^{2}-DH^{2}$，
在$Rt\triangle CGH$中，由勾股定理得：$CH^{2}=CG^{2}-GH^{2}$，
$\therefore CD^{2}-DH^{2}=CG^{2}-GH^{2}$，
根据“勾股三角形”的定义得：$\triangle CDH$和$\triangle CGH$是一对“勾股三角形”；
故答案为：$2$.
$(2)$连接$DE$，如图所示：

$\because$四边形$ABCD$为正方形，
$\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}$，$AD=CB=AB=4$，
在$Rt\triangle BCG$中，$CB=4$，$CG=5$，
由勾股定理得：$BG=\sqrt{C{G}^{2}-C{B}^{2}}=3$，
$\therefore AG=AB-BG=4-3=1$，
在$Rt\triangle ADG$中，由勾股定理得：$DG=\sqrt{A{D}^{2}+A{G}^{2}}=\sqrt{17}$，
设$DE=x$，
$\because$四边形$CGFE$为矩形，
$\therefore EF=CG=5$，$CE=GF$，
$\because DF=EF-DE=5-x$，
$\because Rt\triangle CDE$和$Rt\triangle GDF$是一对“勾股三角形”；
即$CD^{2}-DE^{2}=GD^{2}-DF^{2}$，
$\therefore 4^{2}-x^{2}=17-\left(5-x\right)^{2}$，
解得：$x=2.4$.
故$DE=x=2.4$.