$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore \angle C=60^{\circ}$，
$\because DG\bot BC$，
$\therefore \angle CDG=30^{\circ}$，
在$Rt\triangle DCG$中，$\angle CDG=30^{\circ}$，
$\therefore DC=2GC$，
由勾股定理得：$DG=\sqrt{D{C}^{2}-G{C}^{2}}=\sqrt{3}GC$，
$\because$等边$\triangle ABC$的边长为$1$，$BG=x$，
$\therefore GC=BC-BG=1-x$，
$\because DG=y$，
$\therefore y=\sqrt{3}(1-x)$，
整理得：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
$\therefore$这个函数的表达式是：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
根据等边三角形的性质得：当点$G$运动到$BC$的中点时，点$D$与点$A$重合，
$\therefore \frac{1}{2}\leqslant BG\leqslant 1$，即$\frac{1}{2}≤x≤1$.
故答案为：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}(\frac{1}{2}≤x≤1)$.

$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore \angle C=60^{\circ}$，
$\because DG\bot BC$，
$\therefore \angle CDG=30^{\circ}$，
在$Rt\triangle DCG$中，$\angle CDG=30^{\circ}$，
$\therefore DC=2GC$，
由勾股定理得：$DG=\sqrt{D{C}^{2}-G{C}^{2}}=\sqrt{3}GC$，
$\because$等边$\triangle ABC$的边长为$1$，$BG=x$，
$\therefore GC=BC-BG=1-x$，
$\because DG=y$，
$\therefore y=\sqrt{3}(1-x)$，
整理得：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
$\therefore$这个函数的表达式是：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
根据等边三角形的性质得：当点$G$运动到$BC$的中点时，点$D$与点$A$重合，
$\therefore \frac{1}{2}\leqslant BG\leqslant 1$，即$\frac{1}{2}≤x≤1$.
故答案为：$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}(\frac{1}{2}≤x≤1)$.