（1）①$\because BM=BC$，

$\therefore \angle BCE=\angle BMC=75^{\circ}$，

$\therefore \angle CBM=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$；

②$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC=3\sqrt{2}$，

$\therefore BC=BM=6$，

过点$M$作$MH\bot BC$，

$\because \angle CBN=30^{\circ}$，

$\therefore MH=\frac{1}{2}BH=3$，

$\therefore BH=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，

$\therefore CH=6-3\sqrt{3}$，

在$Rt\triangle CMH$中，$CM^{2}=MH^{2}+CH^{2}=9+(6-3\sqrt{3})^{2}=72-36\sqrt{3}$；

$(2)$过点作$AN\bot BC$垂足为点$N$，连接$MN$，

$\because AB=AC$，$AN\bot BC$，

$\therefore$点$N$为$BC$中点，

$\because \triangle ABC$和$\triangle BCM$都是直角三角形$AN=BN=CN=MN$，

在$Rt\triangle BCM$中，$\angle BCE=75^{\circ}$，

$\therefore \angle MBC=15^{\circ}$，$BN=MN$，

$\therefore \angle CNM=30^{\circ}$，

$\because AN\bot BC$，

$\therefore \angle ANM=120^{\circ}$，

$\because AN=MN$，

$\therefore \angle NAM=\angle NMA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$，

设$DN=x$，则$AD=2x$，根据勾股定理可得：$AN=\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}=\sqrt{3}x$，

$\therefore AN=BN=CN=\sqrt{3}x$，

$\therefore BD=BN+DN=\sqrt{3}x+x$，

$CD=CN-DN=\sqrt{3}x-x=(\sqrt{3}-1)x$，

$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{(\sqrt{3}+1)x}{(\sqrt{3}-1)x}=2+\sqrt{3}$.

（1）①$\because BM=BC$，

$\therefore \angle BCE=\angle BMC=75^{\circ}$，

$\therefore \angle CBM=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$；

②$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC=3\sqrt{2}$，

$\therefore BC=BM=6$，

过点$M$作$MH\bot BC$，

$\because \angle CBN=30^{\circ}$，

$\therefore MH=\frac{1}{2}BH=3$，

$\therefore BH=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$，

$\therefore CH=6-3\sqrt{3}$，

在$Rt\triangle CMH$中，$CM^{2}=MH^{2}+CH^{2}=9+(6-3\sqrt{3})^{2}=72-36\sqrt{3}$；

$(2)$过点作$AN\bot BC$垂足为点$N$，连接$MN$，

$\because AB=AC$，$AN\bot BC$，

$\therefore$点$N$为$BC$中点，

$\because \triangle ABC$和$\triangle BCM$都是直角三角形$AN=BN=CN=MN$，

在$Rt\triangle BCM$中，$\angle BCE=75^{\circ}$，

$\therefore \angle MBC=15^{\circ}$，$BN=MN$，

$\therefore \angle CNM=30^{\circ}$，

$\because AN\bot BC$，

$\therefore \angle ANM=120^{\circ}$，

$\because AN=MN$，

$\therefore \angle NAM=\angle NMA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$，

设$DN=x$，则$AD=2x$，根据勾股定理可得：$AN=\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}=\sqrt{3}x$，

$\therefore AN=BN=CN=\sqrt{3}x$，

$\therefore BD=BN+DN=\sqrt{3}x+x$，

$CD=CN-DN=\sqrt{3}x-x=(\sqrt{3}-1)x$，

$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{(\sqrt{3}+1)x}{(\sqrt{3}-1)x}=2+\sqrt{3}$.