（1）图象如图：

（2）由已知，

该二次函数所表示的抛物线经过点$\left(0,3\right)$、$\left(4,3\right)$，

可知该抛物线的对称轴为$x=2$，

又点$\left(2,-1\right)$在抛物线上，

故该抛物线的顶点为$\left(2,-1\right)$，

由此可设该二次函数的解析式为：$y=a\left(x-2\right)^{2}-1$，

代入点$\left(0,3\right)$，求得$a=1$，

$\therefore$该二次函数的解析式为：$y=\left(x-2\right)^{2}-1=x^{2}-4x+3$，

令$\left(x-2\right)^{2}-1=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，

$\therefore$该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为$\left(1,0\right)$、$\left(3,0\right)$，

答：这个二次函数的解析式是$y=x^{2}-4x+3$，图象与$x$轴的交点坐标是$\left(1,0\right)$，$\left(3,0\right)$.

（1）图象如图：

（2）由已知，

该二次函数所表示的抛物线经过点$\left(0,3\right)$、$\left(4,3\right)$，

可知该抛物线的对称轴为$x=2$，

又点$\left(2,-1\right)$在抛物线上，

故该抛物线的顶点为$\left(2,-1\right)$，

由此可设该二次函数的解析式为：$y=a\left(x-2\right)^{2}-1$，

代入点$\left(0,3\right)$，求得$a=1$，

$\therefore$该二次函数的解析式为：$y=\left(x-2\right)^{2}-1=x^{2}-4x+3$，

令$\left(x-2\right)^{2}-1=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，

$\therefore$该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为$\left(1,0\right)$、$\left(3,0\right)$，

答：这个二次函数的解析式是$y=x^{2}-4x+3$，图象与$x$轴的交点坐标是$\left(1,0\right)$，$\left(3,0\right)$.