（1）过$D$作$DH\bot AB$交$AB$于$H$，$DN\bot AC$交$AC$于$N$.
$\because \angle A=90^{\circ}$，点$D$是$BC$边的中点，
$\therefore DN$∥$AB$，$DN=\frac{1}{2}AB,DH$∥$AC$，$DH=\frac{1}{2}AC$，
$\because AB=AC=2$，
$\therefore DH=DN=1$，
$\therefore \angle NDH=90^{\circ}$，
$\because \angle NDF+\angle NDE=90^{\circ}$，$\angle NDE+EDH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDH=\angle FDN$，
在$\triangle EDH$与$\triangle FDN$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDH=∠FDN}\\{DH=DN}\\{∠EHD=∠FND}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EDH$≌$\triangle FDN\left(ASA\right)$，
$\therefore DE=DF$；
$(2)\because \triangle EDH$≌$\triangle FDN$，
$\therefore HE=NF$，
$\therefore x-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC-y$，即$y=2-x$，
$\because E$是$AB$边上的一个动点（不与$A$、$B$重合），
$\therefore 0 \lt x \lt 2$；
$(3)$连接$HN$，当$E$与$H$重合时$,EF$∥$BC$，
$\because$此时$x=BH=1$，
$\therefore$当$x=1$时$,EF$∥$BC.$

（1）过$D$作$DH\bot AB$交$AB$于$H$，$DN\bot AC$交$AC$于$N$.
$\because \angle A=90^{\circ}$，点$D$是$BC$边的中点，
$\therefore DN$∥$AB$，$DN=\frac{1}{2}AB,DH$∥$AC$，$DH=\frac{1}{2}AC$，
$\because AB=AC=2$，
$\therefore DH=DN=1$，
$\therefore \angle NDH=90^{\circ}$，
$\because \angle NDF+\angle NDE=90^{\circ}$，$\angle NDE+EDH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDH=\angle FDN$，
在$\triangle EDH$与$\triangle FDN$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDH=∠FDN}\\{DH=DN}\\{∠EHD=∠FND}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EDH$≌$\triangle FDN\left(ASA\right)$，
$\therefore DE=DF$；
$(2)\because \triangle EDH$≌$\triangle FDN$，
$\therefore HE=NF$，
$\therefore x-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC-y$，即$y=2-x$，
$\because E$是$AB$边上的一个动点（不与$A$、$B$重合），
$\therefore 0 \lt x \lt 2$；
$(3)$连接$HN$，当$E$与$H$重合时$,EF$∥$BC$，
$\because$此时$x=BH=1$，
$\therefore$当$x=1$时$,EF$∥$BC.$