$\left(1\right)AD=BF$，理由如下：
$\because \triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle DEF=60^{\circ}$，$AC=BC$，$DC=CF$，
即$\angle ACD+\angle DCB=\angle DCB+\angle BCF$，
$\therefore \angle ACD=\angle BCF$，
在$\triangle ACD$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle BCF\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=BF$；
$(2)$①如图$2$所示，当$E$点从$C$点运动到$BC$中点时，线段$BF$在$AB$线段上方，
则$\angle FBD=\angle FBE+\angle EBD$，
过点$E$作$EM$∥$AC$交$AB$于点$M$，

$\because \triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle A=\angle ACB=\angle ABC=\angle DEF=60^{\circ}$，$DE=EF$，
$\because EM$∥$AC$，
$\therefore \angle A=\angle EMB=\angle MEB=\angle ACE=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MEB$是等边三角形，
$\therefore ME=EB$，$\angle MED+\angle DEB=\angle DEB+\angle BEF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle MED=\angle BEF$.
在$\triangle MED$和$\triangle BEF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=BE}\\{∠MED=∠BEF}\\{DE=FE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle MED$≌$\triangle BEF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle FBE=\angle DME=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FBD=\angle FBE+\angle EBD=120^{\circ}$；
②当$E$点从$BC$中点运动到$B$点时，线段$BF$在$AB$线段下面，
过点$E$作$EN$∥$AC$交$AB$于点$N$.
$\therefore \angle ENB=\angle A=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle NEB$是等边三角形，
$\therefore NE=BE$.

$\because \angle NED+\angle NEF=\angle BEF+\angle NEF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle NED=\angle BEF$.
在$\triangle NED$和$\triangle BEF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{∠DEN=∠FEB}\\{EN=EB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle NED$≌$\triangle BEF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle EBF=\angle END=120^{\circ}$，
$\therefore \angle FBD=\angle EBF-\angle EBD=60^{\circ}$，
综上所述，$\angle FBD$为$120^{\circ}$或$60^{\circ}$.

$\left(1\right)AD=BF$，理由如下：
$\because \triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle DEF=60^{\circ}$，$AC=BC$，$DC=CF$，
即$\angle ACD+\angle DCB=\angle DCB+\angle BCF$，
$\therefore \angle ACD=\angle BCF$，
在$\triangle ACD$和$\triangle BCF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACD$≌$\triangle BCF\left(SAS\right)$，
$\therefore AD=BF$；
$(2)$①如图$2$所示，当$E$点从$C$点运动到$BC$中点时，线段$BF$在$AB$线段上方，
则$\angle FBD=\angle FBE+\angle EBD$，
过点$E$作$EM$∥$AC$交$AB$于点$M$，

$\because \triangle ABC$，$\triangle DEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle A=\angle ACB=\angle ABC=\angle DEF=60^{\circ}$，$DE=EF$，
$\because EM$∥$AC$，
$\therefore \angle A=\angle EMB=\angle MEB=\angle ACE=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MEB$是等边三角形，
$\therefore ME=EB$，$\angle MED+\angle DEB=\angle DEB+\angle BEF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle MED=\angle BEF$.
在$\triangle MED$和$\triangle BEF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=BE}\\{∠MED=∠BEF}\\{DE=FE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle MED$≌$\triangle BEF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle FBE=\angle DME=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FBD=\angle FBE+\angle EBD=120^{\circ}$；
②当$E$点从$BC$中点运动到$B$点时，线段$BF$在$AB$线段下面，
过点$E$作$EN$∥$AC$交$AB$于点$N$.
$\therefore \angle ENB=\angle A=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle NEB$是等边三角形，
$\therefore NE=BE$.

$\because \angle NED+\angle NEF=\angle BEF+\angle NEF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle NED=\angle BEF$.
在$\triangle NED$和$\triangle BEF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{∠DEN=∠FEB}\\{EN=EB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle NED$≌$\triangle BEF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle EBF=\angle END=120^{\circ}$，
$\therefore \angle FBD=\angle EBF-\angle EBD=60^{\circ}$，
综上所述，$\angle FBD$为$120^{\circ}$或$60^{\circ}$.