已知:$AD$为$\triangle ABC$的中线,分别以$AB$和$AC$为一边在$\triangle ABC$的外部作等腰三角形$ABE$和等腰三角形$ACF$,且$AE=AB$,$AF=AC$,连接$EF$,$\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}$.
$(1)$如图$1$,若$\angle ABE=65^{\circ}$,$\angle ACF=75^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数.
$(2)$如图$1$,求证:$EF=2AD$.
$(3)$如图$2$,设$EF$交$AB$于点$G$,交$AC$于点$R$,$FC$与$EB$交于点$M$,若点$G$为$EF$中点,且$\angle BAE=60^{\circ}$,请探究$\angle GAF$和$\angle CAF$的数量关系,并证明你的结论.