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八年级数学解答题一般
题目
已知:ADAD为△ABC\triangle ABC的中线,分别以ABAB和ACAC为一边在△ABC\triangle ABC的外部作等腰三角形ABEABE和等腰三角形ACFACF,且AE=ABAE=AB,AF=ACAF=AC,连接EFEF,∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}.
(1)(1)如图11,若∠ABE=65∘\angle ABE=65^{\circ},∠ACF=75∘\angle ACF=75^{\circ},求∠BAC\angle BAC的度数.
(2)(2)如图11,求证:EF=2ADEF=2AD.
(3)(3)如图22,设EFEF交ABAB于点GG,交ACAC于点RR,FCFC与EBEB交于点MM,若点GG为EFEF中点,且∠BAE=60∘\angle BAE=60^{\circ},请探究∠GAF\angle GAF和∠CAF\angle CAF的数量关系,并证明你的结论.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=65∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=65^{\circ}，
∴∠EAB=50∘\therefore \angle EAB=50^{\circ}，
∵AC=AF\because AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC=75∘\therefore \angle ACF=\angle AFC=75^{\circ}，
∴∠CAF=30∘\therefore \angle CAF=30^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle ABC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴50∘+2∠BAC+30∘=180∘\therefore 50^{\circ}+2\angle BAC+30^{\circ}=180^{\circ}，
∴∠BAC=50∘\therefore \angle BAC=50^{\circ}.

(2)(2)证明：延长ADAD至HH，使DH=ADDH=AD，连接BHBH，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中，
{BD=CD∠BDH=∠CDADH=AD\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA\triangle CDA，
∴HB=AC=AF\therefore HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD\angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△ABH\triangle ABH和△EAF\triangle EAF中，
{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△EAF\triangle EAF，
∴∠AEF=∠ABH\therefore \angle AEF=\angle ABH，EF=AH=2ADEF=AH=2AD，

(3)(3)结论：∠GAF−12∠CAF=60∘\angle GAF-\frac{1}{2}\angle CAF=60^{\circ}.
理由：由（1）得，AD=12EFAD=\frac{1}{2}EF，又点GG为EFEF中点，
∴EG=AD\therefore EG=AD，
在△EAG\triangle EAG和△ABD\triangle ABD中，
{AE=AB∠AEG=∠BADEG=AD\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.，
∴△EAG\therefore \triangle EAG≌△ABD\triangle ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60∘\therefore \angle EAG=\angle ABC=60^{\circ}，
∴△AEB\therefore \triangle AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60∘\therefore \angle ABE=60^{\circ}，
∴∠CBM=60∘\therefore \angle CBM=60^{\circ}，
在△ACD\triangle ACD和△FAG\triangle FAG中，
{AD=FGAG=CDAF=AC\left\{\begin{array}{l}{AD=FG}\\{AG=CD}\\{AF=AC}\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△FAG\triangle FAG，
∴∠ACD=∠FAG\therefore \angle ACD=\angle FAG，
∵AC=AF\because AC=AF，∴∠ACF=∠AFC\therefore \angle ACF=\angle AFC，
在四边形ABCFABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360∘\angle ABC+\angle BCF+\angle CFA+\angle BAF=360^{\circ}，
∴60∘+2∠BCF=360∘\therefore 60^{\circ}+2\angle BCF=360^{\circ}，
∴∠BCF=150∘\therefore \angle BCF=150^{\circ}，
∴∠BCA+∠ACF=150∘\therefore \angle BCA+\angle ACF=150^{\circ}，
∴∠GAF+12(180∘−∠CAF)=150∘\therefore \angle GAF+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAF)=150^{\circ}，
∴∠GAF−12∠CAF=60∘\therefore \angle GAF-\frac{1}{2}\angle CAF=60^{\circ}.

解析

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=65∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=65^{\circ}，
∴∠EAB=50∘\therefore \angle EAB=50^{\circ}，
∵AC=AF\because AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC=75∘\therefore \angle ACF=\angle AFC=75^{\circ}，
∴∠CAF=30∘\therefore \angle CAF=30^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle ABC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴50∘+2∠BAC+30∘=180∘\therefore 50^{\circ}+2\angle BAC+30^{\circ}=180^{\circ}，
∴∠BAC=50∘\therefore \angle BAC=50^{\circ}.

(2)(2)证明：延长ADAD至HH，使DH=ADDH=AD，连接BHBH，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中，
{BD=CD∠BDH=∠CDADH=AD\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA\triangle CDA，
∴HB=AC=AF\therefore HB=AC=AF，∠BHD=∠CAD\angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△ABH\triangle ABH和△EAF\triangle EAF中，
{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△EAF\triangle EAF，
∴∠AEF=∠ABH\therefore \angle AEF=\angle ABH，EF=AH=2ADEF=AH=2AD，

(3)(3)结论：∠GAF−12∠CAF=60∘\angle GAF-\frac{1}{2}\angle CAF=60^{\circ}.
理由：由（1）得，AD=12EFAD=\frac{1}{2}EF，又点GG为EFEF中点，
∴EG=AD\therefore EG=AD，
在△EAG\triangle EAG和△ABD\triangle ABD中，
{AE=AB∠AEG=∠BADEG=AD\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.，
∴△EAG\therefore \triangle EAG≌△ABD\triangle ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60∘\therefore \angle EAG=\angle ABC=60^{\circ}，
∴△AEB\therefore \triangle AEB是等边三角形，
∴∠ABE=60∘\therefore \angle ABE=60^{\circ}，
∴∠CBM=60∘\therefore \angle CBM=60^{\circ}，
在△ACD\triangle ACD和△FAG\triangle FAG中，
{AD=FGAG=CDAF=AC\left\{\begin{array}{l}{AD=FG}\\{AG=CD}\\{AF=AC}\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△FAG\triangle FAG，
∴∠ACD=∠FAG\therefore \angle ACD=\angle FAG，
∵AC=AF\because AC=AF，∴∠ACF=∠AFC\therefore \angle ACF=\angle AFC，
在四边形ABCFABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360∘\angle ABC+\angle BCF+\angle CFA+\angle BAF=360^{\circ}，
∴60∘+2∠BCF=360∘\therefore 60^{\circ}+2\angle BCF=360^{\circ}，
∴∠BCF=150∘\therefore \angle BCF=150^{\circ}，
∴∠BCA+∠ACF=150∘\therefore \angle BCA+\angle ACF=150^{\circ}，
∴∠GAF+12(180∘−∠CAF)=150∘\therefore \angle GAF+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAF)=150^{\circ}，
∴∠GAF−12∠CAF=60∘\therefore \angle GAF-\frac{1}{2}\angle CAF=60^{\circ}.

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