$\left(1\right)\because \angle ADE=\angle ACE=90^{\circ}$，$AF=FE$，

$\therefore DF=AF=EF=CF$，

$\therefore \angle FAD=\angle FDA$，$\angle FAC=\angle FCA$，

$\therefore \angle DFE=\angle FDA+\angle FAD=2\angle FAD$，$\angle EFC=\angle FAC+\angle FCA=2\angle FAC$，

$\because CA=CB$，$\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAC=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DFC=\angle EFD+\angle EFC=2\left(\angle FAD+\angle FAC\right)=90^{\circ}$，

$\therefore DF=FC\,\,DF\bot FC$，

故答案为：$=$，$\bot$；

$(2)$线段$FD$与线段$FC$的关系不发生变化.理由如下：

如图$2$中，延长$AC$到$M$使得$CM=CA$，延长$ED$到$N$，使得$DN=DE$，连接$BN$、$BM$、$EM$、$AN$，延长$ME$交$AN$于$H$，交$AB$于$O$.

$\because BC\bot AM$，$AC=CM$，

$\therefore BA=BM$，同理可证$BE=BN$，

$\because \angle ABM=\angle EBN=90^{\circ}$，

$\therefore \angle NBA=\angle EBM$，

$\therefore \triangle ABN$≌$\triangle MBE\left(SAS\right)$，

$\therefore AN=EM$，$\angle BAN=\angle BME$，

$\because AF=FE,AC=CM,CF=\dfrac{1}{2}EM\,\,\,\,FC$∥$EM$，

同理可证$FD=\dfrac{1}{2}AN\,\,\,FD$∥$AN$，

$\therefore FD=FC$，

$\because \angle BME+\angle BOM=90^{\circ}$，$\angle BOM=\angle AOH$，

$\therefore \angle BAN+\angle AOH=90^{\circ}$，

$\therefore \angle AHO=90^{\circ}$，

$\therefore AN\bot MH$，$FD\bot FC$；

$\left(3\right)$如图$2-1$，连接$BF$.

$\because |BE-EF|\leqslant BF\leqslant BE+EF$，

$\therefore$如图$3$时$BF$取得最大值，如图$4$时$BF$取得最小值；如图$3$中，当点$E$落在$AB$上时，$BF$的长最大.

$\because AC=BC=2\sqrt{2}$，$\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=4$，

$\because BE=2$，

$\therefore AE=4-2=2$，

$\because$点$F$是$AE$的中点，

$\therefore AF=EF=1$，

$\therefore BF$的最大值$=AB-AF=4-1=3$；

如图$4$中，当点$E$落在$AB$的延长线上时，$BF$的值最小.

$\because AB=4$，$BE=2$，

$\therefore AE=AB+BE=6$，

$\because$点$F$是$AE$的中点，

$\therefore AF=EF=3$，

$\therefore BF$的最小值$=AB-AF=4-3=1$，

综上所述，$1\leqslant BF\leqslant 3$.

$\left(1\right)\because \angle ADE=\angle ACE=90^{\circ}$，$AF=FE$，

$\therefore DF=AF=EF=CF$，

$\therefore \angle FAD=\angle FDA$，$\angle FAC=\angle FCA$，

$\therefore \angle DFE=\angle FDA+\angle FAD=2\angle FAD$，$\angle EFC=\angle FAC+\angle FCA=2\angle FAC$，

$\because CA=CB$，$\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle BAC=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DFC=\angle EFD+\angle EFC=2\left(\angle FAD+\angle FAC\right)=90^{\circ}$，

$\therefore DF=FC\,\,DF\bot FC$，

故答案为：$=$，$\bot$；

$(2)$线段$FD$与线段$FC$的关系不发生变化.理由如下：

如图$2$中，延长$AC$到$M$使得$CM=CA$，延长$ED$到$N$，使得$DN=DE$，连接$BN$、$BM$、$EM$、$AN$，延长$ME$交$AN$于$H$，交$AB$于$O$.

$\because BC\bot AM$，$AC=CM$，

$\therefore BA=BM$，同理可证$BE=BN$，

$\because \angle ABM=\angle EBN=90^{\circ}$，

$\therefore \angle NBA=\angle EBM$，

$\therefore \triangle ABN$≌$\triangle MBE\left(SAS\right)$，

$\therefore AN=EM$，$\angle BAN=\angle BME$，

$\because AF=FE,AC=CM,CF=\dfrac{1}{2}EM\,\,\,\,FC$∥$EM$，

同理可证$FD=\dfrac{1}{2}AN\,\,\,FD$∥$AN$，

$\therefore FD=FC$，

$\because \angle BME+\angle BOM=90^{\circ}$，$\angle BOM=\angle AOH$，

$\therefore \angle BAN+\angle AOH=90^{\circ}$，

$\therefore \angle AHO=90^{\circ}$，

$\therefore AN\bot MH$，$FD\bot FC$；

$\left(3\right)$如图$2-1$，连接$BF$.

$\because |BE-EF|\leqslant BF\leqslant BE+EF$，

$\therefore$如图$3$时$BF$取得最大值，如图$4$时$BF$取得最小值；如图$3$中，当点$E$落在$AB$上时，$BF$的长最大.

$\because AC=BC=2\sqrt{2}$，$\angle ACB=90^{\circ}$，

$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=4$，

$\because BE=2$，

$\therefore AE=4-2=2$，

$\because$点$F$是$AE$的中点，

$\therefore AF=EF=1$，

$\therefore BF$的最大值$=AB-AF=4-1=3$；

如图$4$中，当点$E$落在$AB$的延长线上时，$BF$的值最小.

$\because AB=4$，$BE=2$，

$\therefore AE=AB+BE=6$，

$\because$点$F$是$AE$的中点，

$\therefore AF=EF=3$，

$\therefore BF$的最小值$=AB-AF=4-3=1$，

综上所述，$1\leqslant BF\leqslant 3$.