解：甲看错了$①$式中$x$的系数$a$，解得$\begin{cases}x=-3 \\ y=-1\end{cases}$，但满足$②$式的解，所以$-12+b=-2$，

解得$b=10$；
同理乙看错了$②$式中$y$的系数$b$，解$\begin{cases}x=5 \\ y=4\end{cases}$满足$①$式的解，所以$5a+20=15$，解得$a=-1$；

$∴$方程组为$\begin{cases}-x+5y=15 \\ 4x=10y-2\end{cases}$，即$\begin{cases}-x+5y=15① \\ 4x-10y=-2②\end{cases}$，

$①×2+②$得：

$2x=28$，

$x=14$，

把$x=14$代入$①$得：

$-14+5y=15$，

$y= \dfrac{29}{5}$，

$∴\begin{cases}x=14 \\ y= \dfrac{29}{5}\end{cases}$．