A

由$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$可得$a+b=\frac{c}{k}$，$b+c=\frac{a}{k}$，$a+c=\frac{b}{k}$，
上式连加得$2\left(a+b+c\right)=\frac{1}{k}(a+b+c)$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入$y=kx$有$y=\frac{1}{2}x$，
将选项中的坐标分别代入$y=\frac{1}{2}x$中可得，只有$A$选项满足函数解析式.
故选$A$.