题目
如图,已知
△ABC中,
AB=AC,
∠BAC=90∘,
∠EPF的顶点
P是
BC的中点,两边
PE、
PF分别交
AB、
AC于点
E、
F(点
E不与
A、
B重合
),∠EPF=90∘,过点
F作
FH⊥BC于点
H,给出以下四个结论:①
AE=CF；②
△EPF是等腰直角三角形；③
S四边形AEPF=21S△ABC；④当
BP=BE时,
FA−CF=2FH.上述结论中始终正确的个数有（ ）
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
A
解析
∵△ABC中，
AB=AC，
∠BAC=90∘，
P是
BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45∘，
AP=PC=PB，
∠APC=∠EPF=90∘，
∴∠EPF−∠APF=∠APC−∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在
△APE和
△CPF中，
⎩⎨⎧∠EAP=∠C=45°AP=AP∠APE=∠CPE，
∴△APE≌△CPF(ASA)，
∴AE=CF，
EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=21S△ABC，
∴③正确；
∵AE=CF，
∴BE=AF，
∵BP=CP=AP，
BP=BE，
∴AF=AP，
∴∠APF=∠AFP=21×(180∘−45∘)=67.5∘，
∴∠CPF=22.5∘，
在线段
CP上截取
HG=HC，连接
FG，
∵FH⊥BC，
∴FG=FC，
∴∠FGC=∠C=45∘，
∴∠PFG=∠FGC−∠FPG=22.5∘，
∴PG=FG=PC，
∴AF−CF=PC−PG=CG=2FH，故④正确，
故选：
A.
