题目已知:在
△ABC中,作
∠ABC的平分线
BM,在
BM上找一点
D,使得
DA=DC,过点
D作
DE⊥BC,交直线
BC于点
E.
(1)依题意补全图形；
(2)用等式写出
AB,
BC,
BE之间的数量关系,并给出证明；
(3)如果把作
∠ABC的平分线
BM,改为作
∠ABC的外角
∠PBA的平分线
BM,其他条件不变,直接用等式写出
AB,
BC,
BE之间的数量关系.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
（1）依题意补全图形如下：
(2)AB=2BE−BC.
证明：过点
D作
DF⊥AB于点
F，
∵BM平分
∠ABC，
DF⊥AB，
DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
∵DE=DF，
BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE−BC=2BE−BC.
(3)AB=BC+2BE.
证明：过点
D作
DF⊥AB于点
F，
∵BM平分
∠ABC，
DF⊥AB，
DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
∵DE=DF，
BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC.
解析
（1）依题意补全图形如下：
(2)AB=2BE−BC.
证明：过点
D作
DF⊥AB于点
F，
∵BM平分
∠ABC，
DF⊥AB，
DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
∵DE=DF，
BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE−BC=2BE−BC.
(3)AB=BC+2BE.
证明：过点
D作
DF⊥AB于点
F，
∵BM平分
∠ABC，
DF⊥AB，
DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF=CE，
∵DE=DF，
BD=BD，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL)，
∴BF=BE，
∴AB=BF+AF=BE+CE=BE+BE+BC=2BE+BC.
