（1）设$a=k$，$b=3k$，$c=5k$，
$\therefore a-b+c=6$，即$k-3k+5k=6$，
解得：$k=2$，
$\therefore a=2$，$b=6$，$c=10$；
$(2)$由（1）知$a=2$，$b=6$，又因为$m$是$a$，$b$的比例中项，
$\therefore m^{2}=ab$，即$m^{2}=12$，
$\therefore m=±2\sqrt{3}$，
$\because m \gt 0$，
$\therefore m=2\sqrt{3}$.

（1）设$a=k$，$b=3k$，$c=5k$，
$\therefore a-b+c=6$，即$k-3k+5k=6$，
解得：$k=2$，
$\therefore a=2$，$b=6$，$c=10$；
$(2)$由（1）知$a=2$，$b=6$，又因为$m$是$a$，$b$的比例中项，
$\therefore m^{2}=ab$，即$m^{2}=12$，
$\therefore m=±2\sqrt{3}$，
$\because m \gt 0$，
$\therefore m=2\sqrt{3}$.