（1）由题意，数轴上表示$x$和$6$的两点之间的距离表示为$|x-6|$；数轴上表示$x$和$-3$的两点之间的距离表示为$|x-\left(-3\right)|=|x+3|$.
故答案为：$|x-6|$；$|x+3|$.
$(2)$由题意，当$-4\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|+|x+4|$取最小值，
其最小值为：$|x-1|+|x+4|=1-x+x+4=5$，
满足条件的整数$x$的和为$-4-3-2-1+0+1=-9$.
故答案为：$5$，$-9$.
$(3)$由题意，$|x+2|+|x-1|+|x|+|x+4|+|x+3|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-4$，$-3$，$-2$，$1$所对应的点的距离之和，
$\therefore$当$x=-2$时，$|x+2|+|x-1|+|x|+|x+4|+|x+3|$有最小值，最小值为$8$.
故答案为：$-2$，$8$.
$(4)$由题意，以$E$点为原点，$2$米为一个单位长度，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$、$H$、$I$依次在数轴上排列，
则$A$点表示的数为$-8$，$B$点表示的数为$-6$，$C$点表示的数为$-4$，$D$点表示的数为$-2$，$F$点表示的数为$2$，$G$点表示的数为$4$，$H$点表示的数为$6$，$I$点表示数为$8$.
设配件箱应该放在数轴上表示$x$的数的位置，
当$|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|$有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，
$\therefore$当$x=0$时，$|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|$有最小值$40$.
$\therefore$配件箱应该放在工作台$E$处，最短路程为$40$米，
故答案为：$E$，$40$.

（1）由题意，数轴上表示$x$和$6$的两点之间的距离表示为$|x-6|$；数轴上表示$x$和$-3$的两点之间的距离表示为$|x-\left(-3\right)|=|x+3|$.
故答案为：$|x-6|$；$|x+3|$.
$(2)$由题意，当$-4\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|+|x+4|$取最小值，
其最小值为：$|x-1|+|x+4|=1-x+x+4=5$，
满足条件的整数$x$的和为$-4-3-2-1+0+1=-9$.
故答案为：$5$，$-9$.
$(3)$由题意，$|x+2|+|x-1|+|x|+|x+4|+|x+3|$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-4$，$-3$，$-2$，$1$所对应的点的距离之和，
$\therefore$当$x=-2$时，$|x+2|+|x-1|+|x|+|x+4|+|x+3|$有最小值，最小值为$8$.
故答案为：$-2$，$8$.
$(4)$由题意，以$E$点为原点，$2$米为一个单位长度，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$、$H$、$I$依次在数轴上排列，
则$A$点表示的数为$-8$，$B$点表示的数为$-6$，$C$点表示的数为$-4$，$D$点表示的数为$-2$，$F$点表示的数为$2$，$G$点表示的数为$4$，$H$点表示的数为$6$，$I$点表示数为$8$.
设配件箱应该放在数轴上表示$x$的数的位置，
当$|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|$有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，
$\therefore$当$x=0$时，$|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|$有最小值$40$.
$\therefore$配件箱应该放在工作台$E$处，最短路程为$40$米，
故答案为：$E$，$40$.